Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是正方形內(nèi)都一點(diǎn)，連接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，點(diǎn)F是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接FD，FE，則FD+FE的長(zhǎng)度最小值為__．

Answer 1

【答案】2-2

【解析】

根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ABC＝90°，推出∠BEC＝90°，得到點(diǎn)E在以BC為直徑的半圓上移動(dòng)，如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為O，作正方形ABCD關(guān)于直線AB對(duì)稱的正方形APGB，則點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是P，連接PO交AB于F，交⊙O于E，則線段EP的長(zhǎng)即為FD+FE的長(zhǎng)度最小值，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝90°，

∴∠ABE+∠CBE＝90°，

∵∠ABE＝∠BCE，

∴∠BCE+∠CBE＝90°，

∴∠BEC＝90°，

∴點(diǎn)E在以BC為直徑的半圓上移動(dòng)，

如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為O，作正方形ABCD關(guān)于直線AB對(duì)稱的正方形APGB，則點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是P，

連接PO交AB于F，交半圓O于E，則線段EP的長(zhǎng)即為FD+FE的長(zhǎng)度最小值，OE＝4，

∵∠G＝90°，PG＝BG＝AB＝4，

∴OG＝6，

∴OP＝＝，

∴EP＝-2，

∴FD+FE的長(zhǎng)度最小值為-2，

故答案為：2-2．