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        1. 8.四邊形ABCD中,∠ABC=∠BCD=120°,AB=BC=k•CD

          (1)如圖,連接AC,求證:AC⊥DC;
          (2)如圖,對(duì)角線AC、BD交于G.若AG=4GC,求k的值;
          (3)若BC上存在唯一的點(diǎn)P,使∠APD=120°,直接寫出此時(shí)k的值.

          分析 (1)根據(jù)等腰三角形ABC的頂角求得底角的度數(shù),即可得出∠ACD=90°;
          (2)先過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC于E,則∠AEB=90°,∠ABE=60°,設(shè)CD=1,則AB=BC=k,根據(jù)∠BAE=30°,求得CG=$\frac{1}{5}$AC=$\frac{1}{5}\sqrt{3}$k,EG=AG-AE=$\frac{3}{10}\sqrt{3}$k,再根據(jù)△BEG∽△DCG,得出$\frac{EG}{CG}$=$\frac{BE}{DC}$,即$\frac{\frac{3}{10}\sqrt{3}k}{\frac{1}{5}\sqrt{3}k}$=$\frac{\frac{1}{2}k}{1}$,解方程求得k=3即可;
          (3)先根據(jù)∠BAP=∠DPC,∠B=∠C=120°,判定△ABP∽△PCD,得到$\frac{PC}{AB}=\frac{CD}{BP}$,再設(shè)CD=1,BP=x,則AB=BC=k,PC=k-x,進(jìn)而得出$\frac{k-x}{k}=\frac{1}{x}$,即x2-kx+k=0,要使點(diǎn)P是唯一的,則方程x2-kx+k=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,據(jù)此得出△=k2-4k=0,求得k=4.

          解答 解:(1)∵∠ABC=∠BCD=120°,AB=BC,
          ∴△ABC中,∠ACB=$\frac{1}{2}$(180°-120°)=30°,
          ∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=120°-30°=90°,
          ∴AC⊥CD;

          (2)如圖1,過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC于E,則∠AEB=90°,∠ABE=60°,
          ∴∠BAE=30°,
          ∴Rt△ABE中,BE=$\frac{1}{2}$AB,AE=CE=$\sqrt{3}$BE,
          設(shè)CD=1,則AB=BC=k,
          ∴BE=$\frac{1}{2}$k,AE=$\frac{1}{2}\sqrt{3}$k=CE,
          ∴AC=$\sqrt{3}$k,
          又∵AG=4GC,
          ∴AG=$\frac{4}{5}$AC=$\frac{4}{5}\sqrt{3}$k,CG=$\frac{1}{5}$AC=$\frac{1}{5}\sqrt{3}$k,
          ∴EG=AG-AE=$\frac{4}{5}\sqrt{3}$k-$\frac{1}{2}\sqrt{3}$k=$\frac{3}{10}\sqrt{3}$k,
          ∵BE∥CD,
          ∴△BEG∽△DCG,
          ∴$\frac{EG}{CG}$=$\frac{BE}{DC}$,即$\frac{\frac{3}{10}\sqrt{3}k}{\frac{1}{5}\sqrt{3}k}$=$\frac{\frac{1}{2}k}{1}$,
          化簡(jiǎn),得$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$k,
          ∴k=3;

          (3)如圖2,∵∠APD=120°,
          ∴∠APB+∠DPC=60°,
          又∵∠B=120°,
          ∴∠APB+∠BAP=60°,
          ∴∠BAP=∠DPC,
           又∵∠B=∠C=120°,
          ∴△ABP∽△PCD,
          ∴$\frac{PC}{AB}=\frac{CD}{BP}$,
          設(shè)CD=1,BP=x,則AB=BC=k,PC=k-x,
          ∴$\frac{k-x}{k}=\frac{1}{x}$,即x2-kx+k=0,
          要使點(diǎn)P是唯一的,則方程x2-kx+k=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,
          ∴△=k2-4k=0,
          解得k=4或0,
          又∵k>0,
          ∴k=4.

          點(diǎn)評(píng) 本題屬于四邊形綜合題,主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的綜合應(yīng)用,解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造相似三角形和直角三角形,運(yùn)用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例以及勾股定理進(jìn)行計(jì)算求解.解題時(shí)注意:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),當(dāng)△=0時(shí),方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

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