Question

如圖，已知⊙O是等腰直角三角形ADE的外接圓，∠ADE=90°，延長ED到C使DC=AD，以AD，DC為鄰邊作正方形ABCD，連接AC，連接BE交AC于點H．求證：
（1）AC是⊙O的切線．
（2）HC=2AH．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)圓周角定理由∠ADE=90°得AE為⊙O的直徑，再根據(jù)等腰直角三角形得到∠EAD=45°，根據(jù)正方形得到∠DAC=45°，則∠EAC=90°，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到結論；
（2）由AB∥CD得△ABH∽△CEH，則AH：CH=AB：ED，根據(jù)等腰直角三角形和正方形的性質易得EC=2AB，則AH：CH=1：2．
解答：證明：（1）∵∠ADE=90°，
∴AE為⊙O的直徑，
∵△ADE為等腰直角三角形，
∴∠EAD=45°，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠DAC=45°，
∴∠EAC=45°+45°=90°，
∴AC⊥AE，
∴AC是⊙O的切線；

（2）∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB∥CD，
∴△ABH∽△CEH，
∴AH：CH=AB：ED，
∵△ADE為等腰直角三角形，
∴AD=ED，
而AD=AB=DC，
∴EC=2AB，
∴AH：CH=1：2，
即HC=2AH．
點評：本題考查了切線的判定：過半徑的外端點與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查了等腰直角三角形的性質、正方形的性質以及三角形相似的判定與性質．