Question

23、如圖，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分線，DE⊥BC，垂足為D．
（1）請(qǐng)你寫出圖中所有的等腰三角形；
（2）請(qǐng)你判斷AD與BE垂直嗎？并說(shuō)明理由．
（3）如果BC=10，求AB+AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的定義判斷，△ABC等腰直角三角形，BE為角平分線；可證△ABE≌△DBE，即AB=BD，AE=DE，所以△ABD和△ADE均為等腰三角形；∠C=45°，ED⊥DC，△EDC也符合題意，綜上所述符合題意的三角形為有△ABC，△ABD，△ADE，△EDC；
（2）BE是∠ABC的平分線，DE⊥BC，根據(jù)角平分線定理可知△ABE關(guān)于BE與△DBE對(duì)稱．可得出BE⊥AD．
（3）根據(jù)（2），可知△ABE關(guān)于BE與△DBE對(duì)稱，且△DEC為等腰直角三角形，可推出AB+AE=BD+DC=BC=10．

解答：解：（1）△ABC，△ABD，△ADE，△EDC．
（2）AD與BE垂直．
證明：由BE為∠ABC的平分線，
知∠ABE=∠DBE，∠BAE=∠BDE=90°，BE=BE，
∴△ABE沿BE折疊，一定與△DBE重合．
∴A、D是對(duì)稱點(diǎn)，
∴AD⊥BE．
（3）∵BE是∠ABC的平分線，DE⊥BC，EA⊥AB，
∴AE=DE，又BE=BE
∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL），
∴AB=AD，
又∵△DCE為等腰直角三角形，
∴DE=DC，
即AB+AE=BD+DC=BC=10．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了學(xué)生對(duì)角平分線定理以及在學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)三角形知識(shí)的總結(jié)和認(rèn)識(shí)．