Question

【題目】如圖，矩形AOCB的頂點A、C分別位于x軸和y軸的正半軸上，線段OA、OC的長度滿足方程|x﹣15|+ =0（OA＞OC），直線y=kx+b分別與x軸、y軸交于M、N兩點，將△BCN沿直線BN折疊，點C恰好落在直線MN上的點D處，且tan∠CBD=

（1）求點B的坐標；
（2）求直線BN的解析式；
（3）將直線BN以每秒1個單位長度的速度沿y軸向下平移，求直線BN掃過矩形AOCB的面積S關于運動的時間t（0＜t≤13）的函數(shù)關系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵|x﹣15|+ =0，

∴x=15，y=13，

∴OA=BC=15，AB=OC=13，

∴B（15，13）；

（2）

解：如圖1，過D作EF⊥OA于點E，交CB于點F，

由折疊的性質可知BD=BC=15，∠BDN=∠BCN=90°，

∵tan∠CBD= ，

∴ = ，且BF2+DF2=BD2=152，解得BF=12，DF=9，

∴CF=OE=15﹣12=3，DE=EF﹣DF=13﹣9=4，

∵∠CND+∠CBD=360°﹣90°﹣90°=180°，且∠ONM+∠CND=180°，

∴∠ONM=∠CBD，

∴ = ，

∵DE∥ON，

∴ = = ，且OE=3，

∴ = ，解得OM=6，

∴ON=8，即N（0，8），

把N、B的坐標代入y=kx+b可得 ，解得 ，

∴直線BN的解析式為y= x+8；

（3）

解：設直線BN平移后交y軸于點N′，交AB于點B′，

當點N′在x軸上方，即0＜t≤8時，如圖2，

由題意可知四邊形BNN′B′為平行四邊形，且NN′=t，

∴S=NN′OA=15t；

當點N′在y軸負半軸上，即8＜t≤13時，設直線B′N′交x軸于點G，如圖3，

∵NN′=t，

∴可設直線B′N′解析式為y= x+8﹣t，

令y=0，可得x=3t﹣24，

∴OG=24，

∵ON=8，NN′=t，

∴ON′=t﹣8，

∴S=S四邊形BNN′B′﹣S△OGN′=15t﹣ （t﹣8）（3t﹣24）=﹣ t2+39t﹣96；

綜上可知S與t的函數(shù)關系式為S= ．

【解析】（1）由非負數(shù)的性質可求得x、y的值，則可求得B點坐標；（2）過D作EF⊥OA于點E，交CB于點F，由條件可求得D點坐標，且可求得 = ，結合DE∥ON，利用平行線分線段成比例可求得OM和ON的長，則可求得N點坐標，利用待定系數(shù)法可求得直線BN的解析式；（3）設直線BN平移后交y軸于點N′，交AB于點B′，當點N′在x軸上方時，可知S即為BNN′B′的面積，當N′在y軸的負半軸上時，可用t表示出直線B′N′的解析式，設交x軸于點G，可用t表示出G點坐標，由S=S四邊形BNN′B′﹣S△OGN′ ， 可分別得到S與t的函數(shù)關系式．