Question

7．如圖1，正方形ABCD的邊AD在y軸上，拋物線y=a（x-2）²-1經(jīng)過點(diǎn)A、B，與x相交于點(diǎn)E、F，且其頂點(diǎn)M在CD上．
（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)（0，3），并寫出a的值2；
（2）若點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），過點(diǎn)P作y軸的平行線l與直線AB交于點(diǎn)G，與直線BD交于點(diǎn)H，如圖2．
①當(dāng)線段PH=2GH時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②當(dāng)點(diǎn)P在直線BD下方時(shí)，點(diǎn)K在直線BD上，且滿足△KPH∽△AEF，求△KPH周長的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性、拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)以及正方形四邊都相等的性質(zhì)解答；
（2）①根據(jù)待定系數(shù)法可得直線BD的解析式，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x²-4x+3），則點(diǎn)H（x，x-1），點(diǎn)G（x，3）．分三種情況：i）當(dāng)x≥1且x≠4時(shí)；ii）當(dāng)0＜x＜1時(shí)；iii）當(dāng)x＜0時(shí)；三種情況討論可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得S_△KPH=$\frac{3}{4}$PH²=$\frac{3}{4}$（-x²+5x-4）²，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性可得△KPH面積的最大值．

解答 解：（1）如圖1，∵拋物線的解析式為y=a（x-2）²-1，頂點(diǎn)是M，
∴M（2，-1）．
又∵四邊形ABCD是正方形，
∴OD=1，DC=BC=AB=AD=4，
∴A（0，3）．
把A（0，3）代入y=a（x-2）²-1，得
3=a（0-2）²-1，
解得a=2．
故答案是：（0，3）；2；

（2）①設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b（k≠0），由于直線BD經(jīng)過D（0，-1），B（4，3），
則$\left\{\begin{array}{l}{-1=b}\\{3=4k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
故直線BD的解析式為y=x-1．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x²-4x+3），則點(diǎn)H（x，x-1），點(diǎn)G（x，3）．
i）當(dāng)x≥1且x≠4時(shí)，點(diǎn)G在PH的延長線上，如圖2．
∵PH=2GH，
∴（x-1）-（x²-4x+3）=2[3-（x-1）]，
∴x²-7x+12=0，
解得x₁=3，x₂=4．
當(dāng)x₂=4時(shí)，點(diǎn)P，H，G重合于點(diǎn)B，舍去．
∴x=3．
∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，0）．         

ii）當(dāng)0＜x＜1時(shí)，點(diǎn)G在PH的反向延長線上，如圖3，PH=2GH不成立．
iii）當(dāng)x＜0時(shí)，點(diǎn)G在線段PH上，如圖4．
∵PH=2GH，
∴（x²-4x+3）-（x-1）=2[3-（x-1）]，
∴x²-3x-4=0，解得x₁=-1，x₂=4（舍去），
∴x=-1．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，8）．
綜上所述可知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，0）或（-1，8）．      

②如圖5，令x²-4x+3=0，得x₁=1，x₂=3，
∴E（1，0），F(xiàn)（3，0），
∴EF=2．
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$EF•OA=3．      
∵△KPH∽△AEF，
∴$\frac{{S}_{△KPH}}{{S}_{△AEF}}$=（$\frac{PH}{EF}$）²，
∴S_△KPH=$\frac{3}{4}$PH²=$\frac{3}{4}$（-x²+5x-4）²．  
∵1＜x＜4，
∴當(dāng)x=$\frac{5}{2}$時(shí)，S_△KPH的最大值為$\frac{243}{64}$．

點(diǎn)評(píng) 本考查了二次函數(shù)綜合題．涉及的知識(shí)點(diǎn)有：坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，拋物線的頂點(diǎn)式，矩形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求直線的解析式，相似三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的增減性，分類思想，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．