Question

通過觀察a²+b²-2ab=（a-b）²≥0可知：

a2+b2

2

≥ab，與此類比，當(dāng)a≥0，b≥0時(shí)，

a+b

2

≥______（要求填寫），你觀察得到的這個(gè)不等式是一個(gè)重要不等式，它在證明不等式和求函數(shù)的極大值或者極小值中非常有用．請(qǐng)你運(yùn)用上述不等式解決下列問題：
（1）求證：當(dāng)x＞0時(shí)，x+

1

x

≥2；
（2）求證：當(dāng)x＞1時(shí)，x+

1

x-1

≥3；
（3）2x2+

1

x2+1

的最小值是______．

Answer 1

∵（

a

）²+（

b

）²-2

ab

=（

a

-

b

）²≥0，
即a+b-2

ab

≥0，
∴

a+b

2

≥

ab

；

（1）證明：∵x＞0，
∴x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，
即x+

1

x

≥2；

（2）證明：∵x＞1，
∴x+

1

x-1

=（x-1）+

1

x-1

+1≥2

(x-1)• 1 x-1

+1=2+1=3，
即x+

1

x-1

≥3；

（3）2x²+

1

x2+1

=2（x²+1）+

1

x2+1

-2≥2

2(x2+1)• 1 x2+1

-2=2

2

-2，
∴2x²+

1

x2+1

的最小值為2

2

-2．
故答案為：

ab

，（4）2

2

-2．