Question

已知：拋物線y=（k-1）x²+2kx+k-2與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
（1）求k的取值范圍；
（2）當(dāng)k為整數(shù)，且關(guān)于x的方程3x=kx-1的解是負(fù)數(shù)時(shí)，求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，若在拋物線和x軸所圍成的封閉圖形內(nèi)畫(huà)出一個(gè)最大的正方形，使得正方形的一邊在x軸上，其對(duì)邊的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線上，試求出這個(gè)最大正方形的邊長(zhǎng)？

Answer 1

分析：（1）由拋物線y=（k-1）x²+2kx+k-2與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，根的判別式△＞0，解得k的取值范圍．
（2）當(dāng)k為整數(shù)，且關(guān)于x的方程3x=kx-1的解是負(fù)數(shù)時(shí)，可以解得k的整數(shù)值．
（3）設(shè)最大正方形ABCD的邊長(zhǎng)為m，則B、C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-m，且由對(duì)稱(chēng)性可知，B、C兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，C點(diǎn)代入拋物線，解得m．

解答：解：（1）△=4k²-4（k-1）（k-2）=12k-8，
依題意，得

△=12k-8＞0 k-1≠0

，
∴k的取值范圍是k＞

2

3

且k≠1，①

（2）解方程3x=kx-1，
得x=

-1

3-k

，
∵方程3x=kx-1的解是負(fù)數(shù)，
∴3-k＞0．
∴k＜3，②（4分）
綜合①②，可得k的取值范圍是k＞

2

3

且k≠1，k＜3，再由k為整數(shù)，可得k=2，
∴拋物線解析式為y=x²+4x．

（3）如圖，設(shè)最大正方形ABCD的邊長(zhǎng)為m，則B、C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-m，
且由對(duì)稱(chēng)性可知：B、C兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，
∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為：x=-2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2+

m

2

，-m），
∵C點(diǎn)在拋物線上，
∴(-2+

m

2

)2+4(-2+

m

2

)=-m．
整理，得m²+4m-16=0，
∴m=

-4±4 5

2

=-2±2

5

（舍負(fù)）
∴m=2

5

-2．

點(diǎn)評(píng)：本題二次函數(shù)的綜合題，要求會(huì)求二次函數(shù)的解析式，會(huì)判定兩圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)和求拋物線對(duì)稱(chēng)軸，本題步驟有點(diǎn)多，做題需要細(xì)心．