Question

如圖，二次函數(shù)y= ?x2axb的圖象與x軸交于A（?，0）、B（2，0）兩點，且與y軸交于點C.

（1）求該拋物線的解析式，并判斷△ABC的形狀；

（2）在x軸上方的拋物線上有一點D，且以A、C、D、B四點為頂點的四邊形是等腰梯形，請直接寫出D點的坐標；

（3）在拋物線上存在點P，使得以A、C、B、P四點為頂點的四邊形是直角梯形，求出P點的坐標.

Answer 1

（1）y=-x2+x+1；△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°；（2）D（，1）；（3）P（，-）或（-，-9）.

【解析】

試題分析：（1）將A、B的坐標代入拋物線的解析式中即可確定拋物線的解析式；進而可得到C點坐標，進而可求出AC、BC、AB的長，然后再判斷△ABC的形狀；

（2）根據(jù)拋物線和等腰梯形的對稱性知，點C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點符合點D的要求，由此可求出點D的坐標；

（3）在（1）題已將證得∠ACB=90°，若A、C、B、P四點為頂點的四邊形是直角梯形，則有兩種情況需要考慮：

①以BC、AP為底，AC為高；可先求出直線BC的解析式，進而可確定直線AP的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式即可求出點P的坐標．

②以AC、BP為底，BC為高；方法同①．

試題解析：（1）由題意得：

，

解得；

∴拋物線的解析式為y=-x2+x+1；

∴C（0，1）；

∴AC2=+1=，BC2=1+4=5，AB2=（2+）2=；

∴AC2+BC2=AB2，即△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°；

（2）由（1）的拋物線知：其對稱軸方程為x=；

根據(jù)拋物線和等腰梯形的對稱性知：點D（，1）；

（3）存在，點P（，-）或（-，-9）；

若以A、C、B、P四點為頂點的直角梯形以BC、AP為底；

∵B（2，0），C（0，1），

∴直線BC的解析式為：y=-x+1；

設(shè)過點A且平行于BC的直線的解析式為y=-x+h，

則有：（-）×（-）+h=0，h=-；

∴y=-x-；

聯(lián)立拋物線的解析式有：

，

解得，；

∴點P（，-）；

若以A、C、B、P四點為頂點的直角梯形以AC、BP為底，

同理可求得P（-，-9）；

故當P（，-）或（-，-9）時，以A、C、B、P四點為頂點的四邊形是直角梯形．

（根據(jù)拋物線的對稱性求出另一個P點坐標亦可）

考點：二次函數(shù)綜合題．