Question

【題目】已知ABC內接于，的平分線交于點D，連接DB，DC．

（1）如圖①，當時，請直接寫出線段AB，AC，AD之間滿足的等量關系式：　 　；

（2）如圖②，當時，試探究線段AB，AC，AD之間滿足的等量關系，并證明你的結論；

（3）如圖③，若BC=5，BD=4，求 的值．

Answer 1

【答案】（1）AB+AC=AD；（2）；（3）

【解析】

（1）在AD上截取AE=AB，連接BE，由條件可知△ABE和△BCD都是等邊三角形，可證明△BED≌△BAC，可得DE=AC，則AB+AC=AD；

（2）延長AB至點M，使BM=AC，連接DM，證明△MBD≌△ACD，可得MD=AD，證得AB+AC=；

（3）延長AB至點N，使BN=AC，連接DN，證明△NBD≌△ACD，可得ND=AD，∠N=∠CAD，證△NAD∽△CBD，可得，

可由AN=AB+AC，求出的值.

解：（1）如圖①在AD上截取AE=AB，連接BE，

∵∠BAC=120°，∠BAC的平分線交⊙O于點D，

∴∠DBC=∠DAC=60°，∠DCB=∠BAD=60°，

∴△ABE和△BCD都是等邊三角形，

∴∠DBE=∠ABC，AB=BE，BC=BD，

∴△BED≌△BAC（SAS），

∴DE=AC，

∴AD=AE+DE=AB+AC；

故答案為：AB+AC=AD．

（2）AB+AC=．理由如下：

如圖②，延長AB至點M，使BM=AC，連接DM，

∵四邊形ABDC內接于⊙O，

∴∠MBD=∠ACD，

∵∠BAD=∠CAD=45°，

∴BD=CD，

∴△MBD≌△ACD（SAS），

∴MD=AD，∠M=∠CAD=45°，

∴MD⊥AD．

∴AM=，即AB+BM=，

∴AB+AC=；

（3）如圖③，延長AB至點N，使BN=AC，連接DN，

∵四邊形ABDC內接于⊙O，

∴∠NBD=∠ACD，

∵∠BAD=∠CAD，

∴BD=CD，

∴△NBD≌△ACD（SAS），

∴ND=AD，∠N=∠CAD，

∴∠N=∠NAD=∠DBC=∠DCB，

∴△NAD∽△CBD，

∴，

∴，

又AN=AB+BN=AB+AC，BC=5，BD=4，

∴．