Question

【題目】如圖1，在四邊形ABCD中，BC∥AD，∠B＝90°，AD邊落在平面直角坐標系的x軸上，且點A（5，0）、C（0，3）、AD＝2．點P從點E（﹣5，0）出發(fā)，沿x軸向點A以每秒1個單位長度的速度運動，到達點A時停止運動．運動時間為t秒．

（1）∠BCD的度數(shù)為______°.

（2）當t＝_____時，△PCD為等腰三角形.

（3）如圖2，以點P為圓心，PC為半徑作⊙P．

①求當t為何值時，⊙P與四邊形ABCD的一邊（或邊所在的直線）相切.

②當t______時，⊙P與四邊形ABCD的交點有兩個；當t_____時，⊙P與四邊形ABCD的交點有三個．

Answer 1

【答案】（1）45；（2）5或2或8﹣3；（3）①當t的值為2或5或時，⊙P與四邊形ABCD的一邊相切；②2＜t＜5或t＝；5＜t＜．

【解析】

（1）根據(jù)A、C坐標可得OC=3，OA=5，由AD=2可得OD=3，可得OC=OD，由∠COD=90°，可得∠ODC=45°，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得∠BCD=45°；（2）分PC＝PD，CP＝CD，DC＝DP三種情況，分別求出t值即可；（3）分⊙P與CD、BC、AB邊相切三種情況，分別求出t值即可；②根據(jù)①中三個圖形及點P運動到OA中點時有兩個交點即可得答案.

（1）∵A（5，0）、C（0，3），

∴OC＝3，OA＝5，

又∵AD＝2，

∴OD＝OA﹣AD＝3，

∴OC＝OD，

∵∠COD＝90°，

∴∠OCD＝∠ODC＝45°，

又∵BC∥AD，

∴∠BCD＝∠ODC＝45°，

故答案為：45；

（2）若△PCD為等腰三角形，

①當PC＝PD時，點P在CD的垂直平分線上，點P與點O重合，

∴P（0，0），

∵E（﹣5，0），

∴PE＝5，

∴t＝5.

②當CP＝CD時，

∵CO⊥PD，

∴CO垂直平分PD，

∴PO＝OD＝3，

∴P（﹣3，0），

∵E（﹣5，0），

∴PE＝2，

∴t＝2.

③當DC＝DP時，

在Rt△COD中，DC＝＝3，

∴DP＝3，

∴OP＝3﹣3，

∴EP＝OE﹣OP＝5﹣（3﹣3）＝8﹣3，

∴t＝8﹣3.

故答案為：5或2或8﹣3

（3）①如圖2﹣1，當點P運動至與四邊形ABCD的CD邊相切時，

PC⊥CD，

∵∠CDO＝45°，

∴△CPD為等腰直角三角形，

∵CO⊥PD，

∴PO＝DO＝3，

∴EP＝2，

即t＝2；

如圖2﹣2，當點P運動到與點O重合時，

∵PC為⊙P半徑，且PC⊥BC，

∴此時⊙P與四邊形ABCD的BC邊相切，

∴t＝5.

如圖2﹣3，當點P運動至與四邊形ABCD的AB邊相切時，

PA為⊙P半徑，

設(shè)PC＝PA＝r，

在Rt△PCD中，

OP＝OA﹣PA＝5﹣r，

∵PC2＝OC2+OP2，

∴r2＝32+（5﹣r）2，

解得，r＝，

∴t＝EP＝10﹣＝.

∴當t的值為2或5或時，⊙P與四邊形ABCD的一邊相切.

②如圖2﹣1，當⊙P與四邊形ABCD的CD邊相切時，只有一個交點，此時t＝2，繼續(xù)向右運動會有兩個交點.

如圖2﹣2，當⊙P與四邊形ABCD的CB邊相切時，有C，D兩個交點，此時t＝5，繼續(xù)向右運動會有三個交點.

如圖2﹣3，當⊙P與四邊形ABCD的AB邊相切時，⊙P與四邊形ABCD有三個交點，此時t＝，繼續(xù)向右運動有三個交點.

如圖2﹣4，當點P運動至OA的中點時，⊙P與四邊形ABCD有C，B兩個交點，此時t＝，

綜上所述，答案為：2＜t＜5或t＝；5＜t＜．