Question

【題目】如圖，菱形ABCD的邊長為20cm，∠ABC＝120°．動點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路線向點(diǎn)C運(yùn)動；Q以2cm/s的速度，沿A→C的路線向點(diǎn)C運(yùn)動．當(dāng)P、Q到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，整個(gè)運(yùn)動隨之結(jié)束，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒．

（1）在點(diǎn)P、Q運(yùn)動過程中，請判斷PQ與對角線AC的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）若點(diǎn)Q關(guān)于菱形ABCD的對角線交點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為M，過點(diǎn)P且垂直于AB的直線l交菱形ABCD的邊AD（或CD）于點(diǎn)N．

①當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P、M、N在一直線上？

②當(dāng)點(diǎn)P、M、N不在一直線上時(shí)，是否存在這樣的t，使得△PMN是以PN為一直角邊的直角三角形？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） 若0＜t≤5，則AP＝4t，AQ＝2t. 則 ＝＝，

又 ∵ AO＝10，AB＝20，∴ ＝＝.∴ ＝，

又 ∠CAB＝30°，∴ △APQ∽△ABO，∴ ∠AQP＝90°，即PQ⊥AC. ………………4分

當(dāng)5﹤t≤10時(shí)，同理可由△PCQ∽△BCO 可得∠PQC＝90°，即PQ⊥AC（考慮一種情況即可）

∴ 在點(diǎn)P、Q運(yùn)動過程中，始終有PQ⊥AC.

（2）① 如圖，在RtAPM中，易知AM＝，又AQ＝2t，

QM＝20－4t.

由AQ＋QM＝AM 得2t＋20－4t＝

解得t＝，∴ 當(dāng)t＝時(shí)，點(diǎn)P、M、N在一直線上. …………………………8分

② 存在這樣的t，使△PMN是以PN為一直角邊的直角三角形.

設(shè)l交AC于H.

如圖1，當(dāng)點(diǎn)N在AD上時(shí)，若PN⊥MN，則∠NMH＝30°.

∴ MH＝2NH，得 20－4t－＝2× 解得t＝2， …………………10分

如圖2，當(dāng)點(diǎn)N在CD上時(shí)，若PM⊥MN，則∠HMP＝30°.∴ MH＝2PH，同理可得t＝ .

故 當(dāng)t＝2或 時(shí)，存在以PN為一直角邊的直角三角形. …………………12分

【解析】

（1）此問需分兩種情況，當(dāng)0＜t≤5及5＜t≤10兩部分分別討論得PQ⊥AC．

（2）①由于點(diǎn)P、M、N在一直線上，則AQ+QM=AM，代入求得t的值．

②假設(shè)存在這樣的t，使得△PMN是以PN為一直角邊的直角三角形，但是需分點(diǎn)N在AD上時(shí)和點(diǎn)N在CD上時(shí)兩種情況分別討論．

解答：解：（1）若0＜t≤5，則AP=4t，AQ=2t．

則==，

又∵AO=10，AB=20，∴==．

∴=．又∠CAB=30°，∴△APQ∽△ABO．

∴∠AQP=90°，即PQ⊥AC．

當(dāng)5＜t≤10時(shí)，同理，可由△PCQ∽△BCO得∠PQC=90°，即PQ⊥AC．

∴在點(diǎn)P、Q運(yùn)動過程中，始終有PQ⊥AC．

（2）①如圖，在Rt△APM中，∵∠PAM=30°，AP=4t，

∴AM=．

在△APQ中，∠AQP=90°，

∴AQ=AP?cos30°=2t，

∴QM=AC-2AQ=20-4t．

由AQ+QM=AM得：2t+20-4

t=，

解得t=．

∴當(dāng)t=時(shí)，點(diǎn)P、M、N在一直線上．

②存在這樣的t，使△PMN是以PN為一直角邊的直角三角形．

設(shè)l交AC于H．

如圖1，當(dāng)點(diǎn)N在AD上時(shí)，若PN⊥MN，則∠NMH=30°．

∴MH=2NH．得20-4t-t=2×，解得t=2．

如圖2，當(dāng)點(diǎn)N在CD上時(shí)，若PM⊥PN，則∠HMP=30°．

∴MH=2PH，同理可得t=．

故當(dāng)t=2或時(shí)，存在以PN為一直角邊的直角三角形．