Question

設(shè)x₁，x₂，…，x₂₀₀₈是整數(shù)，且滿足下列條件：
（1）-1≤x_n≤2（n=1，2，…，2 008）；
（2）x₁+x₂+…+x₂₀₀₈=200；
（3）x₁²+x₂²+…+x₂₀₀₈²=2 008．
求x₁³+x₂³+…+x₂₀₀₈³的最小值和最大值．

Answer 1

分析：根據(jù)設(shè)x₁，x₂，…，x₂₀₀₈中有q個0，r個-1，s個1，t個2，可得出等式即可求出x₁³+x₂³+…+x₂₀₀₈³取最大值2408．

解答：解：設(shè)x₁，x₂，…，x₂₀₀₈中有q個0，r個-1，s個1，t個2．（2分）
則

-r+s+2t=200 r+s+4t=2008

①（5分）
兩式相加得s+3t=1104．故0≤t≤368．（10分）
由x₁³+x₂³+…+x₂₀₀₈³=-r+s+8t=6t+200，（12分）
得200≤x₁³+x₂³+…+x₂₀₀₈³≤6×368+200=2408．（15分）
由方程組①知：當(dāng)t=0，s=1104，r=904時，
x₁³+x₂³+…+x₂₀₀₈³取最小值200；   （17分）
當(dāng)t=368，s=0，r=536時，
x₁³+x₂³+…+x₂₀₀₈³取最大值2408．（20分）

點(diǎn)評：此題主要考查了函數(shù)最值問題，根據(jù)已知求出200≤x₁³+x₂³+…+x₂₀₀₈³≤6×368+200=2408，即得出當(dāng)t=368，s=0，r=536時最小值是解題關(guān)鍵．