Question

拓展探索．
如圖，在△ABC中，BC=6cm，CA=8cm，∠C=90°，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿BC邊向C以1cm/s的速度移動，點(diǎn)Q從C點(diǎn)開始沿CA邊向點(diǎn)A以2cm/s的速度移動．
（1）求⊙O的半徑；
（2）若P、Q分別從B、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)Q移動到A時(shí)，P點(diǎn)與⊙O是什么位置關(guān)系？
（3）若P、Q分別從B、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)Q移動到A時(shí)，移動停止，則經(jīng)過幾秒，△PCQ的面積等于5cm²？

Answer 1

解：（1）作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，如圖，⊙O的半徑為Rcm，
∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，
∴OD=OE=OF，即點(diǎn)D、E、F為切點(diǎn)，
而∠C=90°，
∴四邊形OECF為正方形，
∴CF=CE=OE=R，
∴BF=BC-CF=6-R，AE=8-R，
在△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，CA=8cm，
∴AB==10cm，
∵BD=BF=6-E，AD=AE=8-R，
∴AB=BD+AD=6-R+8-R=10，
∴R=2，
即⊙O的半徑為2cm；

（2）∵點(diǎn)Q移動到A所用的時(shí)間==4（秒），
而P、Q分別從B、C同時(shí)出發(fā)，
∴點(diǎn)P在BC上移動的距離=4×1=4cm，
∵CF=2cm，
∴BF=6cm-2cm=4cm，
∴P點(diǎn)移動到了F點(diǎn)，
而OF=2cm，
∴P點(diǎn)在⊙O上；
（3）設(shè)經(jīng)過t秒，△PCQ的面積等于5cm²，則BP=t，PC=6-t，CQ=2t，
根據(jù)題意得（6-t）•2t=5，
解得t₁=1，t₂=5（舍去），
∴經(jīng)過1秒，△PCQ的面積等于5cm²．
分析：（1）作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，⊙O的半徑為Rcm，根據(jù)切線的性質(zhì)得OD=OE=OF，即點(diǎn)D、E、F為切點(diǎn)，易得四邊形OECF為正方形，則CF=CE=OE=R，所以BF=6-R，AE=8-R，再利用勾股定理計(jì)算出AB=10cm，于是BD+AD=6-R+8-R=10，然后解方程即可得到R的值；
（2）先根據(jù)速度公式計(jì)算出點(diǎn)Q移動到A所用的時(shí)間為4秒，則點(diǎn)P在BC上移動的距離=4cm，易得P點(diǎn)移動到了F點(diǎn)，然后根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可判斷P點(diǎn)與⊙O是什么位置關(guān)系；
（3）設(shè)經(jīng)過t秒，△PCQ的面積等于5cm²，根據(jù)三角形面積公式得到（6-t）•2t=5，然后解一元二次方程求出t，然后根據(jù)Q移動到A時(shí)，移動停止可確定的值．
點(diǎn)評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓的切線的性質(zhì)、切線長定理和點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；會利用勾股定理進(jìn)行幾何計(jì)算；能運(yùn)用方程的思想解決問題．