Question

如圖，直角梯形紙片ABCD，AB∥CD，∠B=90°，AB=BC=2cm，tan∠D=

1

2

．E為AD邊上一動點(diǎn)．（E不與D重合，但可與A重合）過點(diǎn)E作EF⊥CD于點(diǎn)F，將紙片沿著EF折疊，使點(diǎn)D落在直線CD上的D′處．設(shè)DF=x（cm），△EFD′與直角梯形ABCD重疊部分面積為S（cm²）．
（1）求S與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在折疊過程中，是否存在x的值，使得△AED′是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．
（3）記線段AD所在的直線為l，平移直線l，交BC所在的直線于點(diǎn)G，交CD所在的直線于點(diǎn)H，在直線AB上存在點(diǎn)I，使得△GHI為等腰直角三角形，請直接寫出滿足題意的線段IB的所有可能長度．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可以得出四邊形ABCG為正方形，在根據(jù)比例求出CD的長度，根據(jù)x的取值范圍分兩種情況討論，求出重疊部分面積．
（2）根據(jù)直角三角形勾股定理判斷，并分∠AD′E和∠EAD′分別為直角時(shí)，兩種情況計(jì)算求解出x的值．
（3）根據(jù)平移性質(zhì)可得∠GHC=∠D，分∠IHG、∠IGH各為直角兩種情況討論，計(jì)算IB的長度即可．

解答：解：如圖①，過A作AG⊥CD于G，∴∠AGC=90°
∵AB∥CD，∠B=90
∴∠C=90°
∴四邊形ABCG為矩形
∵AB=BC=2cm
∴四邊形ABCG為正方形
∴AG=CG=AB=2cm
∵tan∠D=

1

2

∴

AG

DG

=

1

2

，

EF

DF

=

1

2

∴

2

DG

=

1

2

∴DG=4，則CD=DG+CG=4+2=6cm
（1）當(dāng)D’與C重合時(shí)，DF=

1

2

CD=3

①如圖①，當(dāng)0＜x≤3時(shí)，△EFD′與直角梯形ABCD重疊部分為Rt△EFD′，
由題知：D′F=DF=x
∴S=

1

2

EF•D′F=

1

2

×

1

2

x•x=

1

4

x2
②如圖②，當(dāng)3＜x≤4時(shí)，△EFD′與直角梯形ABCD重疊部分為直角梯形EFCP
此時(shí)，D′F=DF=x，EF=

1

2

DF=

1

2

x，
則CD′=DD′-DC=2x-6，F(xiàn)C=D′F-CD′=x-（2x-6）=6-x
由題意可得：tan∠D′=tan∠D=

1

2

∴

PC

CD′

=

1

2

∴PC=

1

2

CD′=x-6
S=

1

2

(EF+PC)•FC
=

1

2

(

1

2

x+x-6)•(6-x)
=-

3

4

x2+6x+9
綜上，△EFD′與直角梯形ABCD重疊部分面積為S與x的函數(shù)關(guān)系式為：
S=

1 4 x2  (0＜x＜3) - 3 4 x2+6x+9  (3＜x≤4)

（2）答：存在，理由如下：
∵tan∠D=

1

2

∴∠D=∠D′EA≠45° 則∠AED≠90°
①當(dāng)∠AD′E=90°時(shí)，ED′²+AD²=AE²
∵ED′=DE=

DF2+EF2

=

x2+( x 2 )2

=

5

2

x
∴AE=AD-DE=2

5

-

5

2

x
又∵AD²=（4-2x）²+2²
∴(

5

2

x)2+(4-2x)2=(2

5

-

5

2

x)2
解得x1=

3

2

，x₂=0（舍去）
②當(dāng)∠EAD′=90°時(shí)，AE²+AD′²=ED′²
∵AD²=（2x-4）²+2²
∴（2x-4）²+22+(2

5

-

5

2

x)2=(

5

x

)2
解得x1=

5

2

，x₂=4（舍去）
（綜上所述，當(dāng)x=

3

2

或x=

5

2

時(shí)，△AED′是直角三角形．
（3）①當(dāng)∠IGH=90°時(shí)，如圖③所示：

設(shè)CG=x，BG=2-x
∵AD∥GH
∴∠GHC=∠D
∴tan∠GHC=tan∠D=

1

2

∴CH=2x
∴GH=

(2x)2+x2

=

5

x
∵△GHI為等腰直角三角形
∴IG=GH=

5

x
∵∠CHG+∠CGH=90°，∠CGH+∠BGI=90°
∴∠CHG=∠BGI
∵∠C=∠B=90°
∴△CHG≌△BGI
∴IB=CG=x
∵GI²=BI²+BG²
∴5x²=x²+（2-x）²
解得x=

2

3

或-2
∴IB=2或

2

3

②當(dāng)∠IHG=90°時(shí)，如圖④所示：
∵∠BGI=180°-∠IGH-∠CGH
∴cos∠BGI=-cos（∠IGH+∠CGH）
設(shè)CG=x，BG=2-x
∵△GHI為等腰直角三角形
∴∠IGH=45°
∵AD∥GH
∴∠GHC=∠D
∴tan∠GFC=

1

2

∴CH=2x
∴GH=

(2x)2+x2

=

5

x
IG=

2

GH=

10

x
∴cos∠CGH=

1

5

，sin∠CGH=

2

5

∴cos∠BGI=-cos（∠IGH+∠CGH）
=-cos45°•cos∠CGH+sin45°•sin∠CGH
=-

2

2

×

1

5

+

2

2

×

2

5

=

1

10

∵cos∠BGI=

BG

IG

=

2-x

10 x

∴

2-x

10 x

=

1

10

解得x=1
∴IG=10，BG=1
∴IB=

IG2-BG2

=

10-1

=3
∴IB=2或3或

2

3

．

點(diǎn)評：此題主要考查了直角三角形的判定與性質(zhì)和正方形的判定及三角形面積求法等知識，利用重疊性質(zhì)得出對應(yīng)邊之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．