Question

（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長線上一點(diǎn)，且DF＝BE．求證：CE＝CF；

（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，G是AD上一點(diǎn)，如果∠GCE＝45°，請你利用（1）的結(jié)論證明：GE＝BE＋GD．

（3）運(yùn)用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：

如圖3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一點(diǎn)，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面積．

 

Answer 1

【答案】

（1）、（2）證明見解析（3）108

【解析】解：（1）證明：在正方形ABCD中，∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，

∴△CBE≌△CDF（SAS）。∴CE＝CF。

（2）證明： 如圖，延長AD至F，使DF=BE．連接CF。

 由（1）知△CBE≌△CDF，

∴∠BCE＝∠DCF。

∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，

即∠ECF＝∠BCD＝90°。

又∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°。

∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，

∴△ECG≌△FCG（SAS）。∴GE＝GF，

∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD。

（3）如圖，過C作CG⊥AD，交AD延長線于G．

在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠A＝∠B＝90°。

又∠CGA＝90°，AB＝BC，

∴四邊形ABCD 為正方形。 ∴AG＝BC。

已知∠DCE＝45°，

根據(jù)（1）（2）可知，ED＝BE＋DG。

∴10=4+DG，即DG=6。

設(shè)AB＝x，則AE＝x－4，AD＝x－6，

在Rt△AED中，∵DE²=AD²＋AE²，即10²=（x－6）²＋（x－4）²。

解這個(gè)方程，得：x=12或x=－2（舍去）。

∴AB=12。

∴。

∴梯形ABCD的面積為108。

（1）由四邊形是ABCD正方形，易證得△CBE≌△CDF（SAS），即可得CE=CF。

（2）延長AD至F，使DF=BE，連接CF，由（1）知△CBE≌△CDF，易證得∠ECF=∠BCD=90°，又由∠GCE=45°，可得∠GCF=∠GCE=45°，即可證得△ECG≌△FCG，從而可得GE=BE+GD。

（3）過C作CG⊥AD，交AD延長線于G，易證得四邊形ABCG為正方形，由（1）（2）可知，ED=BE+DG，即可求得DG的長，設(shè)AB=x，在Rt△AED中，由勾股定理DE2=AD2+AE2，可得方程，解方程即可求得AB的長，從而求得直角梯形ABCD的面積。