Question

如圖已知△ABC內(nèi)，P、Q分別在BC，CA上，并且AP、BQ分別是∠BAC、∠ABC的平分線．
（1）若∠BAC=60°，∠ACB=40°，求證：BQ+AQ=AB+BP；
（2）若∠ACB=α?xí)r，其他條件不變，直接寫出∠BAC=

180°-3α

時(shí)，仍有BQ+AQ=AB+BP．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出∠CBQ=40°，根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)可得BQ=CQ，然后過點(diǎn)P作PD∥BQ，求出PD=CD，再利用“角角邊”證明△ABP與△ADP全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AB=AD，BP=PD，從而得證；
（2）根據(jù)（1）的證明，只要是滿足∠ABC=2∠ACB即可是原有結(jié)論仍然成立．

解答：（1）證明：∵∠BAC=60°，∠ACB=40°，
∴∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=180°-60°-40°=80°，
∵BQ平分∠ABC，
∴∠CBQ=

1

2

∠ABC=

1

2

×80°=40°，
∴∠CBQ=∠ACB，
∴BQ=CQ，
∴BQ+AQ=CQ+AQ=AC…①，
過點(diǎn)P作PD∥BQ交CQ于點(diǎn)D，
則∠CPD=∠CBQ=40°，
∴∠CPD=∠ACB=40°，
∴PD=CD，∠ADP=∠CPD+∠ACB=40°+40°=80°，
∵∠ABC=80°，
∴∠ABC=∠ADP，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP=∠CAP，
∵在△ABP與△ADP中，

∠ABC=∠ADP ∠BAP=∠CAP AP=AP

，
∴△ABP≌△ADP（AAS），
∴AB=AD，BP=PD，
∴AB+BP=AD+PD=AD+CD=AC…②，
由①②可得，BQ+AQ=AB+BP；

（2）解：根據(jù)（1）的證明可知，只要滿足∠ABC=2∠ACB即可使原結(jié)論仍然成立，
∵∠ACB=α，
∴∠ABC=2α，
∴∠BAC=180°-3α．
故答案為：180°-3α．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等角對(duì)等邊的性質(zhì)，根據(jù)角度計(jì)算出∠ABC=2∠ACB從而求出相等的角是解題的關(guān)鍵．