Question

在⊙O中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=2

3

cm．
（1）求∠ABC的度數(shù)；
（2）求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓周角定理得到∠BAC﹦∠BDC=60°，再根據(jù)三角形的內角和定理即可得到∠ABC；
（2）由（1）知，△ABC是等邊三角形．連接AO并延長交BC于點E，根據(jù)等邊三角形的性質得到圓心O既是△ABC的外心又是重心，還是垂心．然后利用含30度的直角三角形三邊的關系即可得到AE，再得到半徑OA．

解答：解：（1）∵∠BDC=60°，
∴∠BAC﹦60°﹒
又∠ACB﹦60°，
∴∠ABC=180°-60°-60°=60°．

（2）由（1）知，△ABC是等邊三角形．連接AO并延長交BC于點E（如圖）．
∴圓心O既是△ABC的外心又是重心，還是垂心．
在Rt△AEC中，AC=2

3

cm，CE=

3

cm，
∴AE=

AC2-CE2

=3cm．
∴OA=

2

3

×3=2，
即O的半徑為2cm．

點評：本題考查了圓周角定理：同弧所對的圓周角相等．也考查了等邊三角形的性質．