Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，將△ABC繞點C逆時針方向旋轉角α（0°＜α＜90°），得到△A₁B₁C₁，連接BB₁．設CB₁交AB于點D，A₁B₁分別交AB、AC于點E、F．
（1）在圖中不再添加其他任何線段的情況下，請你找出圖中的所有全等三角形，并對不包括△ABC和△A₁B₁C₁的一對全等三角形加以證明；
（2）當α=60°時，求BD的長；
（3）當△BB₁D是等腰三角形時，求角α的度數．

Answer 1

分析：（1）依據全等三角形的判定，可找出全等的三角形有：△CBD≌△CA₁F或△AEF≌△B₁ED或△ACD≌△B₁CF等．由旋轉的意義可證∠A₁CF=∠BCD，A₁C=BC，∠A₁=∠CBD=45°，所以△CBD≌△CA₁F．
（2）作DG⊥BC于G，在直角三角形CDG和直角三角形DGB中，由三角函數即可求得BD的長．
（3）當△BBD是等腰三角形時，要分別討論B₁B=B₁D、BB₁=BD、B₁D=DB三種情況，第一，三種情況不成立，只有第二種情況成立，求得α=30°．

解答：解：（1）全等的三角形有：△CBD≌△CA₁F或△AEF≌△B₁ED或△ACD≌△B₁CF等；
以證△CBD≌△CA₁F為例：
證明：∵∠ACB₁+∠A₁CF=∠ACB₁+∠BCD=90°
∴∠A₁CF=∠BCD
∵A₁C=BC
∴∠A₁=∠CBD=45°
∴△CBD≌△CA₁F；

（2）作DG⊥BC于G，設CG=x．
在Rt△CDG中，∠DCG=α=60°，∴DG=xtan60°=

3

x
Rt△DGB中，∠DBG=45°，∴BG=GD=

3

x
∵AC=BC=1，∴x+

3

x=1
x=

1

1+ 3

=

1

2

(

3

-1)，∴DB=

2

BG=

3 2 - 6

2

．

（3）在△CBB₁中
∵CB=CB₁
∴∠CBB1=∠CB1B=

1

2

（180°-α）
又△ABC是等腰直角三角形
∴∠ABC=45°
①若B₁B=B₁D，則∠B₁DB=∠B₁BD
∵∠B₁DB=45°+α
∠B1BD=∠CBB1-45°=

1

2

（180°-α）-45°=45°-

α

2

∴45°+α=45°-

α

2

，
∴α=0°（舍去）；
②∵∠BB₁C=∠B₁BC＞∠B₁BD，∴BD＞B₁D，即BD≠B₁D；
③若BB₁=BD，則∠BDB₁=∠BB₁D，即45°+α=

1

2

（180°-α），
解得α=30°，
由①②③可知，當△BB₁D為等腰三角形時，α=30°．

點評：本題考查了旋轉的性質，解決此類問題的關鍵是正確的利用旋轉不變量．