Question

在△ABC中，∠ACB為銳角．點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作等腰Rt△ADE．
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°．解答下列問題：①如圖1，當點D在線段BC上時（與點B不重合），線段CE、BD之間的位置關系為 _________ ，數(shù)量關系為 _________ ．②當點D在線段BC的延長線上時，如圖2，線段CE、BD之間的位置關系為 _________ ，數(shù)量關系為 _________ ．請在上面①②兩個結(jié)論中任選一個說明理由．
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，點D在線段BC上運動．試探究：當△ABC滿足∠BCA= _________ 時，CE⊥BC（點C、E重合除外）？請在圖3中畫出相應圖形，并說明理由．（畫圖不寫作法）

Answer 1

解：（1）①CE⊥BD； CE=BD．
證明：∵∠BAD=90°﹣∠DAC，∠CAE=90°﹣∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE．又 BA=CA，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE （SAS）
∴∠ACE=∠B=45°； CE=BD．
∴∠ACB=∠B=45°，
∴∠ECB=45°+45°=90°，即 CE⊥BD．
故答案為 CE⊥BD； CE=BD．
②CE⊥BD； CE=BD．理由同①；
（2）如圖所示．當∠ACB=45°時，CE⊥BC．
理由：過點A作AP⊥AC交BC邊于P．
則∠APC=45°，AP=AC．
∴∠DAP=90°﹣∠DAC，∠EAC=90°﹣∠CAD，
∴∠DAP=∠EAC．
又∵AD=AE，
∴△APD≌△ACE （SAS）
∴∠ACE=∠APD=45°．
∴∠ECB=45°+45°=90°，
即 CE⊥BC．故答案為 45°．