Question

等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，P為BC的中點(diǎn)，小慧拿著含30°角的透明三角板，使30°角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)P，三角板繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．
（1）如下左圖，當(dāng)三角板的兩邊分別交AB、AC于點(diǎn)E、F時(shí)．求證：△BPE∽△CFP；
（2）操作：將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到圖b情形時(shí)，三角板的兩邊分別交BA的延長(zhǎng)線、邊AC于點(diǎn)E、F．
①探究1：△BPE與△CFP還相似嗎？（只需寫出結(jié)論）
②探究2：連結(jié)EF，△CPF∽△PEF嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用等腰三角形的性質(zhì)推知∠B=∠C；由三角形內(nèi)角和定理、等量代換推知∠BEP=∠CPF，則由“兩角法”證得△BPE∽△CFP；
（2）相似．證法同（1）；
（3）由（1）中的相似三角形易得

PE

FP

=

BP

CF

，即

PE

FP

=

CP

CF

．又∠EPF=∠C=30°，則由“兩邊及其夾角法”證得△CPF∽△PEF．

解答：證明：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C． 
又∵∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∠BPE+∠BEP=150°．
又∵∠EPF=30°，∠BPE+∠CPF=150°，
∴∠BEP=∠CPF，
∴△BPE∽△CFP；

（2）證法同（1），△BPE與△CFP還相似；

（3）△BPE∽△CFP．
理由如下：
∵△BPE∽△CFP
∴

PE

FP

=

BP

CF

．
∵BP=CP，
∴

PE

FP

=

CP

CF

．
又∵∠EPF=∠C=30°，
∴△CPF∽△PEF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)應(yīng)角相等．