Question

如圖，半徑為1的⊙M經(jīng)過直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，且分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點(diǎn)A、B，∠OMA=60°，過點(diǎn)B的切線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)C，拋物線過點(diǎn)A、B、C．
（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若點(diǎn)D為拋物線對稱軸上的一個動點(diǎn)，問是否存在這樣的點(diǎn)D，使得△BCD是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可直接得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為A（1，0），B（0，

3

）；
（2）再根據(jù)BC是切線，可求出BC的長，即得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（3）先假設(shè)存在，看能否求出符合條件的點(diǎn)D即可．

解答：解：（1）∵M(jìn)O=MA=1，∠OMA=60°，
∴∠ABO=30°，
∴OB=

3

，
∴A（1，0），B（0，

3

）；

（2）∵BC是切線，
∴∠ABC=90°，
∴∠ACB=30°，
∴AC=4，
∴C（-3，0），
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，將點(diǎn)A、B、C代入得，

a+b+c=0 c= 3 9a-3b+c=0

，
解得

a=- 3 3 b=- 2 3 3 c= 3

∴拋物線的解析式為y=-

3

3

x²-

2 3

3

x+

3

；

（3）設(shè)在對稱軸上存在點(diǎn)D，使△BCD是等腰三角形，
對稱軸為直線x=-1，設(shè)點(diǎn)D（-1，m），
分3種情況討論：①BC=BD；

1+(m- 3 )2

=2

3

，
解得m=±

11

+

3

；
②BC=CD；

4+m2

=2

3

，解得m=±2

2

；
③BD=CD；

4+m2

=

1+(m- 3 )2

，解得：m=0，
∴符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)為，（-1，

11

+

3

），（-1，-

11

+

3

），（-1，2

2

），（-1，-2

2

），（-1，0）．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識點(diǎn)有拋物線的公式的求法和等腰三角形判定等知識點(diǎn)，是各地中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，解題時注意數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，同學(xué)們要加強(qiáng)訓(xùn)練，屬于中檔題．