Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，點D是弧BC的中點，DE⊥AC于點E，DE⊥AB于點F．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若OF=2，求AC的長度．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD、AD．

∵點D是 的中點，

∴ = ，

∴∠DAO=∠DAC，

∵OA=OD，

∴∠DAO=∠ODA，

∴∠DAC=∠ODA，

∴OD∥AE，

∵DE⊥AE，

∴∠AED=90°，

∴∠AED=∠ODE=90°，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切線

（2）解：連接BC．

∵AB是⊙O直徑，

∴∠ACB=90°，

∵OD∥AE，

∴∠DOB=∠EAB，

∵∠DFO=∠ACB=90°，

∴△DFO∽△BCA，

∴ = = ，

即 = ，

∴AC=4

【解析】（1）連接OD、AD．只要證明OD∥AE，由DE⊥AC，推出DE⊥OD即可解決問題；（2）連接BC．只要證明△DFO∽△BCA，推出 = = 即可解決問題；
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解勾股定理的概念的相關知識，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對垂徑定理的理解，了解垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．