Question

如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．
解答下列問(wèn)題：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖乙，線段CF，BD之間的位置關(guān)系為_(kāi)_____，數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____．
②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線時(shí)，如圖丙，①中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)．
試探究：當(dāng)△ABC滿足一個(gè)什么條件時(shí)，CF⊥BC（點(diǎn)C，F(xiàn)重合除外）畫(huà)出相應(yīng)圖形，并說(shuō)明理由．（畫(huà)圖不寫(xiě)作法）
（3）若AC=4，BC=3，在（2）的條件下，設(shè)正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點(diǎn)P，求線段CP長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）可通過(guò)證明三角形ABC和三角形ACF全等來(lái)實(shí)現(xiàn)．因?yàn)锳D=AF，AB=AC，只要證明∠BAD=∠CAF即可，∠BAD=90°-∠DAC=∠FAC，這樣就構(gòu)成了全等三角形判定中的SAS，△ABD≌△ACF，因此BC=CF，∠B=∠ACF，因?yàn)椤螧+∠ACB=90°，那么∠ACF+ACD=90°，即FC⊥BC，也就是FC⊥BD．
（2）可通過(guò)構(gòu)建三角形來(lái)求解．過(guò)點(diǎn)A作AG⊥AC交BC于點(diǎn)G，如果CF⊥BD，那么∠ACF=∠AGD=90°-∠ACD，又因?yàn)椤螱AD=∠CAE=90°-∠CAD．AG=AC那么根據(jù)AAS可得出△AGD≌△ACF，AG=AC，又因?yàn)椤螱AC=90°，可得出∠BCA=45°．
因此△BAC滿足∠BCA=45°時(shí)，CF⊥BD．
（3）過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，通過(guò)構(gòu)建與線段相關(guān)的三角形相似來(lái)求解．
圖中我們可以看出∠ADQ+∠PDC=90°，那么很容易就能得出，∠QAD=∠PDC，那么就能得出直角三角形ADQ∽直角三角形PDC，那么可得出關(guān)于CP、CD、AQ、QD的比例關(guān)系，因?yàn)椤螧CA=45°，∠Q=90°，那么AQ=QC=2，如果設(shè)CD=x，那么可用x表示出CD、QD，又知道AQ的值和CP、CD、QD、AQ的比例關(guān)系，那么可得出關(guān)于CP和x的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和x的取值范圍求出CP的最大值．
解答：解：（1）①CF與BD位置關(guān)系是垂直，數(shù)量關(guān)系是相等
②當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)①的結(jié)論仍成立
由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90度
∵∠BAC=90°，
∴∠DAF=∠BAC，
∴∠DAB=∠FAC
又∵AB=AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF=BD
∠ACF=∠ABD
∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=45°，∴∠ACF=45°
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．

（2）當(dāng)∠BCA=45°時(shí)，CF⊥BD（如圖）
理由是：過(guò)點(diǎn)A作AG⊥AC交BC于點(diǎn)G，∴AC=AG
可證：△GAD≌△CAF∴∠ACF=∠AGD=45°
∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，
即CF⊥BD．

（3）當(dāng)具備∠BCA=45°時(shí)，
過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，（如圖），
∵DE與CF交于點(diǎn)P時(shí)，此時(shí)點(diǎn)D位于線段CQ上，
∵∠BCA=45°，AC=4，
∴由勾股定理可求得AQ=CQ=4．
設(shè)CD=x，∴DQ=4-x，
∵∠ADB+∠ADE+∠PDC=180°
且∠ADE=90°，
∴∠ADQ+∠PDC=90°，
又∵在直角△PCD中，∠PDC+∠DPC=90°
∴∠ADQ=∠DPC，
∵∠AQD=∠DCP=90°
∴△AQD∽△DCP，
∴=，∴=．
∴CP=-x²+x=-（x-2）²+1．
∴當(dāng)x=1時(shí)，CP有最大值1．
點(diǎn)評(píng)：本題中綜合考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定以及函數(shù)關(guān)系式等綜合知識(shí)．本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意通過(guò)作輔助線來(lái)構(gòu)建出和已知，所求等條件相關(guān)的三角形，然后通過(guò)相似，全等等知識(shí)來(lái)求解．