Question

27、如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線(xiàn)BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．解答下列問(wèn)題：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
①當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖乙，線(xiàn)段CF、BD之間的位置關(guān)系為

垂直

，數(shù)量關(guān)系為

相等

．
②當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖丙，①中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng)．試探究：當(dāng)△ABC滿(mǎn)足一個(gè)什么條件時(shí)，CF⊥BC（點(diǎn)C、F重合除外）？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)①的結(jié)論仍成立．由正方形ADEF的性質(zhì)可推出△DAB≌△FAC，所以CF=BD，∠ACF=∠ABD．結(jié)合∠BAC=90°，AB=AC，得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度．即CF⊥BD．
（2）當(dāng)∠ACB=45°時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥AC交CB或CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，則∠GAC=90°，可推出∠ACB=∠AGC，所以AC=AG，由（1）①可知CF⊥BD．

解答：解：（1）①CF⊥BD，CF=BD …（2分）
故答案為：垂直、相等．
②成立，理由如下：…（3分）
∵∠FAD=∠BAC=90°
∴∠BAD=∠CAF
又  BA=CA      AD=AF
∴△BAD≌△CAF…（5分）
∴CF=BD∠ACF=∠ACB=45°
∴∠BCF=90°
∴CF⊥BD …（7分）

（2）當(dāng)∠ACB=45°時(shí)可得CF⊥BC，理由如下：…（8分）
過(guò)點(diǎn)A作AC的垂線(xiàn)與CB所在直線(xiàn)交于G      …（9分）
則∵∠ACB=45°
∴AG=AC∠AGC=∠ACG=45°
∵AG=AC，AD=AF
∴△GAD≌△CAF（SAS）    …（10分）
∴∠ACF=∠AGD=45°
∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90°
∴CF⊥BC           …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．