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橢圓C₁的焦點(diǎn)在x軸上，中心是坐標(biāo)原點(diǎn)O，且與橢圓C2：

x2

12

+

y2

4

=1的離心率相同，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是C₂長(zhǎng)軸長(zhǎng)的一半．A（3，1）為C₂上一點(diǎn)，OA交C₁于P點(diǎn)，P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q點(diǎn)，過A作C₂的兩條互相垂直的動(dòng)弦AB，AC，分別交C₂于B，C兩點(diǎn)，如圖．

（1）求橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求Q點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）求證：B，Q，C三點(diǎn)共線．

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橢圓C₁的焦點(diǎn)在x軸上，中心是坐標(biāo)原點(diǎn)O，且與橢圓C2：

x2

12

+

y2

4

=1的離心率相同，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是C₂長(zhǎng)軸長(zhǎng)的一半．A（3，1）為C₂上一點(diǎn)，OA交C₁于P點(diǎn)，P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q點(diǎn)，過A作C₂的兩條互相垂直的動(dòng)弦AB，AC，分別交C₂于B，C兩點(diǎn)，如圖．

（1）求橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求Q點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）求證：B，Q，C三點(diǎn)共線．

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已知以原點(diǎn)O為中心的橢圓的一條準(zhǔn)線方程為y=

4 3

3

，離心率e=

3

2

，M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)
（Ⅰ）若C，D的坐標(biāo)分別是(0，-

3

)，(0，

3

)，求|MC|•|MD|的最大值；
（Ⅱ）如題（20）圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），B是圓x²+y²=1上的點(diǎn)，N是點(diǎn)M在x軸上的射影，點(diǎn)Q滿足條件：

OQ

=

OM

+

ON

，

QA

•

BA

=0、求線段QB的中點(diǎn)P的軌跡方程．

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第Ⅰ卷

一、選擇題

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

B

B

B

A

C

A

D

C

第Ⅱ卷

二、填空題

9、3 , ;    10、;     11、（A）; （B）；（C）();    12、0.5       13、28 ,

三、解答題

14、（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）＝

                       ＝+

                       ＝+

　　所以，的最小正周期　

(Ⅱ)

由三角函數(shù)圖象知:

的取值范圍是

15、（本小題滿分12分）

方法一：

證：（Ⅰ）在Rt△BAD中，AD=2，BD=，

∴AB=2，ABCD為正方形，

因此BD⊥AC.                    

∵PA⊥平面ABCD，BDÌ平面ABCD，

∴BD⊥PA .                      

又∵PA∩AC=A

∴BD⊥平面PAC.                 

解：（Ⅱ）由PA⊥面ABCD，知AD為PD在平面ABCD的射影，又CD⊥AD，

∴CD⊥PD，知∠PDA為二面角P―CD―B的平面角.                      

又∵PA=AD，

∴∠PDA=45⁰ .                                                       

（Ⅲ）∵PA=AB=AD=2

∴PB=PD=BD=

設(shè)C到面PBD的距離為d，由，

有，                              

即，

得         

方法二：

證：（Ⅰ）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

則A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）.

在Rt△BAD中，AD=2，BD=，

∴AB=2.

∴B（2，0，0）、C（2，2，0），

∴  

∵

即BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=A，

∴BD⊥平面PAC.                       

解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得.

設(shè)平面PCD的法向量為，則，

即，∴

故平面PCD的法向量可取為                              

∵PA⊥平面ABCD，∴為平面ABCD的法向量.             

設(shè)二面角P―CD―B的大小為q，依題意可得，

∴q = 45⁰ .                                                      

（Ⅲ）由（Ⅰ）得

設(shè)平面PBD的法向量為，則，

即，∴x=y=z

故平面PBD的法向量可取為.                             

∵，

∴C到面PBD的距離為                          

16、（本小題滿分14分）

解：（1）設(shè)“甲射擊4次，至少1次未擊中目標(biāo)”為事件A，則其對(duì)立事件為“4次均擊中目標(biāo)”，則

（2）設(shè)“甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)3次”為事件B,則

（3）設(shè)“乙恰好射擊5次后，被中止射擊”為事件C,由于乙恰好射擊5次后被中止射擊,故必然是最后兩次未擊中目標(biāo)，第三次擊中目標(biāo)，第一次及第二次至多有一次未擊中目標(biāo)。

故

17、（本小題滿分14分）

解：（Ⅰ）由  得

即

可得

因?yàn)?sub>，所以   解得，因而

 （Ⅱ）因?yàn)?sub>是首項(xiàng)、公比的等比數(shù)列，故

則數(shù)列的前n項(xiàng)和

前兩式相減，得 

   即 

18、（本小題滿分14分）

解：(1) ,設(shè)切點(diǎn)為,則曲線在點(diǎn)P的切線的斜率,由題意知有解，

∴即.

 (2)若函數(shù)可以在和時(shí)取得極值，

則有兩個(gè)解和，且滿足.

易得.

(3)由(2)，得.

根據(jù)題意，()恒成立.

∵函數(shù)（）在時(shí)有極大值（用求導(dǎo)的方法），

且在端點(diǎn)處的值為.

∴函數(shù)（）的最大值為.  

所以.

19、（本小題滿分14分）

解：（1）∵成等比數(shù)列　∴　

設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，依橢圓的定義得

即為所求的橢圓方程.

（2）假設(shè)存在，因與直線相交，不可能垂直軸

因此可設(shè)的方程為：由

　 ①

方程①有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根

∴　②

設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為　∴

∵線段恰被直線平分　∴

∵　∴ ③　把③代入②得

∵　 ∴　∴解得或

∴直線的傾斜角范圍為