Question

橢圓C₁的焦點(diǎn)在x軸上，中心是坐標(biāo)原點(diǎn)O，且與橢圓C2：

x2

12

+

y2

4

=1的離心率相同，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是C₂長(zhǎng)軸長(zhǎng)的一半．A（3，1）為C₂上一點(diǎn)，OA交C₁于P點(diǎn)，P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q點(diǎn)，過(guò)A作C₂的兩條互相垂直的動(dòng)弦AB，AC，分別交C₂于B，C兩點(diǎn)，如圖．

（1）求橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求Q點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）求證：B，Q，C三點(diǎn)共線．

Answer 1

分析：（1）由橢圓C2：

x2

12

+

y2

4

=1可知：長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4

3

，離心率是

6

3

，進(jìn)而得到橢圓C₁的a，b，c．
（2）由點(diǎn)A（3，1）可得直線OA：y=

1

3

x．與橢圓方程聯(lián)立即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)對(duì)稱性即可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）分AC⊥x軸時(shí)，與直線AC的斜率垂直時(shí)兩種情況討論．只要證明k_BQ=k_QC即可．

解答：解：（1）由橢圓C2：

x2

12

+

y2

4

=1可知：長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4

3

，離心率是

6

3

，
∴橢圓C₁：a=

3

，c=

2

，b²=a²-c²=1，
∴橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

3

+y2=1．
（2）∵A（3，1）可得直線OA：y=

1

3

x．
聯(lián)立

y= 1 3 x x2+3y2=3

解得第一象限P(

3

2

，

1

2

)，可得Q(

3

2

，-

1

2

)．
（3）當(dāng)AB∥x軸時(shí)，AC⊥x軸，可得B（-3，1），C（3，-1）．
∴

QC

=(

3

2

，-

1

2

)，

QB

=(-

9

2

，

3

2

)，
∴

QB

=-3

QC

，∴B，Q，C三點(diǎn)共線．
當(dāng)直線AC存在斜率時(shí)，可設(shè)直線AC：y-1=k（x-3），化為y=kx+1-3k，
聯(lián)立

y=kx+1-3k x2+3y2=12

，消去y得到（3k²+1）x²+6k（1-3k）x+9（3k²-2k-1）=0，
得x_C=

9k2-6k-3

3k2+1

，y_C=kx_C+1-3k=

-3k2-6k+1

3k2+1

．
得kCQ=

-3k2-6k+1 3k2+1 + 1 2

9k2-6k-3 3k2+1 - 3 2

=

-k2-4k+1

3k2-4k-3

．
同理，以-

1

k

代替上式中的k，得k_BQ=

-(- 1 k )2-4(- 1 k )+1

3(- 1 k )2-4(- 1 k )-3

=

-k2-4k+1

3k2-4k-3

，
∴k_CQ=k_BQ，即Q，B，C三點(diǎn)共線，
綜上可知：Q，B，C三點(diǎn)共線．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到交點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱問題、三點(diǎn)共線問題等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了分類討論的思想方法、推理能力和計(jì)算能力．