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如圖，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠C=90°，側(cè)棱與底面所成的角為α（0°＜α＜90°），點(diǎn)B₁在底面上的射影D落在BC上．
（1）求證：AC⊥平面BB₁C₁C；
（2）當(dāng)α為何值時(shí)，AB₁⊥BC₁，且使點(diǎn)D恰為BC中點(diǎn)？
（3）（理科做）當(dāng)α=arccos

1

3

，且AC=BC=AA₁時(shí)，求二面角C₁-AB-C的大小．

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一．選擇題：（本大共12小題,每小題5分,在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是正確的.）

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

D

D

C

D

A

B

C

B

C

A

D

二、填空題（本大題4個(gè)小題，每小題4分，共16分，只填結(jié)果，不要過(guò)程）

13、         ³                   14、         9           

15、        ²⁴⁰                 16、                   

三．解答題（本大題共6個(gè)小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）

17、證明：（1）連結(jié)，設(shè)

連結(jié)， 是正方體   是平行四邊形

∥且                                        2分

又分別是的中點(diǎn)，∥且

是平行四邊形                                         4分

∥面，面

∥面                                              6分

（2）面                              7分

又，                           

                                                  9分

同理可證，                                          11分

又

面                                             12分

18.解：（１）=3125；------4分（２）A=120； ------8分（３）=1200-----12分．

19.（1）連接EO,EO∥PC,又平面平面

平面平面               -----------------------------------------------------6分

（2）ABCD為菱形，，過(guò)O在平面OEB內(nèi)作OFBE于F,連OF, AFO為二面角的平面角， tanAFO =                    -------12分

20.(1)   ---------4分

   .(2) ---------8分

   .(3) ---------12分

 21.解：（1）過(guò)A作BC的反向延長(zhǎng)線的垂線，交于點(diǎn)E，連ED，

∵面ACB⊥面BCD，∴AE⊥面BCD   又AB=BC=BD，

∠ABC＝∠DBC＝120⁰

∴AE=ED=          ∴∠ADE= ----------4分

_{（2）過(guò)D作EC的平行線與過(guò)C平行于ED的直線交于F。}

_{由（1）知，EDFC為矩形} ∵DF⊥DE， ∴DF⊥AD，即BC⊥AD ∴ ₉₀₀-即為所求   ----8分

_{（3）過(guò)E作}EG⊥BD于G，連結(jié)AG

由三垂線定理知，AG⊥BD。由                                      ，            

 在Rt△AEG中，tan∠AGE=2, ∠AGE=arctan2

∴二面角A―BD―C的度數(shù)為 π－arctan2      -   -------12分

22. （1）∵B₁D⊥面ABC    ∴B₁D⊥AC

  又∵AC⊥BC 且B₁D∩BC=D ∴平面   -------4分

（2）連結(jié)B₁C和BC₁     ∵平面

∴B₁C ⊥BC₁  四邊形是菱形   ---------6分

∵B₁D⊥BC  且D為的中點(diǎn) ∴B₁C=BB₁=BC   ∴=  ------9分

（3）過(guò)C₁在平面內(nèi)作C₁O∥B₁D,交BC的延長(zhǎng)線于O點(diǎn),

過(guò)O作OM⊥AB于M點(diǎn),連結(jié)C₁M∴C₁O⊥平面_,∴C₁M⊥AB,   

∴∠OMC₁是二面角的平面角---------11分

設(shè)=3a ,  ∵

∴BD=a , C₁O= B₁D=a , BO=4a

∵∠CBA= _, ∴OM=a =B₁D , ∴∠OMC₁=

∴二面角的大小為     ---------14分