在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-2,0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0,），線段AC上有一動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)C移動，線段AB上有另一個動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)A移動，兩動點(diǎn)同時出發(fā)，設(shè)運(yùn)動時間為t秒.
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在整個運(yùn)動過程中，是否存在某一時刻，使得以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似?如果存在，請求出對應(yīng)的t的值;如果不存在，請說明理由.
（3）在y軸上有兩點(diǎn)M（0，m）和N（0，m+1），若要使得AM+MN+NP的和最小，請直接寫出相應(yīng)的m、t的值以及AM+MN+NP的最小值.

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形OABC的邊長為2cm，點(diǎn)A、C分別在y軸的負(fù)半軸和x軸的正半軸上，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B．
（1）求拋物線的表達(dá)式．
（2）如果點(diǎn)P由點(diǎn)A開始沿AB邊以2cm/s的速度向點(diǎn)B移動，同時點(diǎn)Q由點(diǎn)B開始沿BC以1cm/s的速度向點(diǎn)C移動，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．
①移動開始后，是否存在某一時刻t，使得以O(shè)、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△BPQ相似，若存在，請求出此時t的值，若不存在，請說明理由．
②移動開始后第t秒時，設(shè)S=PQ²（cm²），當(dāng)S取得最小值時，在拋物線上是否存在點(diǎn)R，使得以P、B、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出R點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．
（3）若此拋物線上有一點(diǎn)D（3，），在拋物線的對稱軸上求點(diǎn)M，使得M到D、A的距離之差最大，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．