Question

如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，正方形OABC的邊長為2cm，點A、C分別在y軸的負半軸和x軸的正半軸上，拋物線y=

5

6

x²+bx+c經過點A、B．
（1）求拋物線的表達式．
（2）如果點P由點A開始沿AB邊以2cm/s的速度向點B移動，同時點Q由點B開始沿BC以1cm/s的速度向點C移動，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動．
①移動開始后，是否存在某一時刻t，使得以O、A、P為頂點的三角形與△BPQ相似，若存在，請求出此時t的值，若不存在，請說明理由．
②移動開始后第t秒時，設S=PQ²（cm²），當S取得最小值時，在拋物線上是否存在點R，使得以P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出R點的坐標；如果不存在，請說明理由．
（3）若此拋物線上有一點D（3，

1

2

），在拋物線的對稱軸上求點M，使得M到D、A的距離之差最大，求出點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據正方形的四條邊都相等寫出點A、B的坐標，然后代入拋物線解析式得到關于b、c的方程組，解方程組求出b、c的值即可得解；
（2）表示出AP、BP、BQ的長，①然后分（i）OA與BP是對應邊，（ii）OA與BQ是對應邊兩種情況，根據相似三角形對應邊成比例列出比例式求解即可；
②根據勾股定理表示出S，然后利用二次函數的最值問題確定出S取最小值時的t值，然后求出BP、BQ的值，再分（i）BP為對角線，（ii）BQ為對角線兩種情況，根據平行四邊形的對邊平行且相等求出點R的坐標，然后把點R的坐標代入拋物線，如果點R在拋物線上則，存在，否則不存在；
（3）根據三角形的任意兩邊之差小于第三邊判斷出當點M為拋物線對稱軸與直線AD的交點時，M到D、A的距離之差最大，然后利用待定系數法求一次函數解析式求出直線AD的解析式，再求兩直線的交點即可．

解答：解：（1）∵正方形OABC的邊長為2cm，
∴點A（0，-2），B（2，-2），
∴

c=-2 5 6 ×4+2b+c=-2

，
解得

b=- 5 3 c=-2

，
∴拋物線的表達式為y=

5

6

x²-

5

3

x-2；

（2）移動t秒時，AP=2t，BP=2-2t，BQ=t，
①（i）OA與BP是對應邊時，∵以O、A、P為頂點的三角形與△BPQ相似，
∴

OA

BP

=

AP

BQ

，
即

2

2-2t

=

2t

t

，
解得t=

1

2

，
（ii）OA與BQ是對應邊時，∵以O、A、P為頂點的三角形與△BPQ相似，
∴

OA

BQ

=

AP

BP

，
即

2

t

=

2t

2-2t

，
解得t=-1+

3

，t=-1-

3

（舍去），
綜上所述，當t=

1

2

或-1+

3

時，以O、A、P為頂點的三角形與△BPQ相似；
②根據勾股定理，S=PQ²=BP²+BQ²=（2-2t）²+t²=5t²-8t+4，
所以，當t=-

-8

2×5

=

4

5

時，S有最小值，
此時BP=2-2t=2-2×

4

5

=

2

5

，BQ=t=

4

5

，
（i）當BP為對角線時，根據平行四邊形的對邊平行且相等，
點R的橫坐標為2t=

8

5

，
縱坐標為-（2+

4

5

）=-

14

5

，
此時，

5

6

×（

8

5

）²-

5

3

×

8

5

-2=

32

15

-

40

15

-2=-

38

15

≠-

14

5

，
點R不在拋物線上，所以，此時不成立，
（ii）BQ為對角線時，根據平行四邊形的對邊平行且相等，
點R的橫坐標為2+

2

5

=

12

5

，
縱坐標為-（2-

4

5

）=-

6

5

，
此時，

5

6

×（

12

5

）²-

5

3

×

12

5

-2=

24

5

-4-2=-

6

5

，
點R在拋物線上，
所以，點R的坐標為（

12

5

，-

6

5

）；

（3）根據三角形三邊關系，|MA-MD|＜DA，
所以，當點M為直線AD與對稱軸交點時，M到D、A的距離之差最大，
此時，設直線AD的解析式為y=kx+b，
則

b=-2 3k+b= 1 2

，
解得

k= 5 6 b=-2

，
所以，直線AD的解析式為y=

5

6

x-2，
∵拋物線y=

5

6

x²-

5

3

x-2的對稱軸為x=-

- 5 3

2× 5 6

=1，
∴y=

5

6

×1-2=-

7

6

，
∴點M的坐標為（1，-

7

6

）．

點評：本題是二次函數的綜合題型，主要涉及正方形的性質，待定系數法求函數解析式（二次函數解析式與直線解析式），相似三角形對應邊成比例的性質，平行四邊形的性質，三角形的三邊關系，分情況討論的思想，綜合性較強，難度較大，但只要仔細分析認真求解，也不難解答．