題目列表(包括答案和解析)
已知m>1，直線
，橢圓C：
，
、
分別為橢圓C的左、右焦點.
（Ⅰ）當(dāng)直線過右焦點時，求直線的方程;
（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓C交于A、B兩點，△A、△B的重心分別為G、H.若原點O在以線段GH為直徑的圓內(nèi)，求實數(shù)m的取值范圍.[
【解析】第一問中因為直線經(jīng)過點（
，0），所以＝
，得
.又因為m>1，所以
，故直線的方程為
第二問中設(shè)
，由
，消去x，得
，
則由
，知
<8,且有
由題意知O為的中點.由
可知
從而
，設(shè)M是GH的中點，則M（
）.
由題意可知，2|MO|<|GH|,得到范圍
已知函數(shù)f(x)=ex-ax，其中a＞0.
（1）若對一切x∈R，f(x) 
1恒成立，求a的取值集合；
（2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2))(x1<x2)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x0∈（x1,x2）,使
恒成立.
【解析】解：
令
.
當(dāng)
時
單調(diào)遞減；當(dāng)
時
單調(diào)遞增，故當(dāng)
時，
取最小值
于是對一切
恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)
. ①
令
則
當(dāng)
時，
單調(diào)遞增；當(dāng)
時，
單調(diào)遞減.
故當(dāng)
時，
取最大值
.因此，當(dāng)且僅當(dāng)
時，①式成立.
綜上所述，
的取值集合為
.
（Ⅱ）由題意知，
令
則
令
，則
.當(dāng)
時，
單調(diào)遞減；當(dāng)
時，
單調(diào)遞增.故當(dāng)
，
即
從而
，
又
所以
因為函數(shù)
在區(qū)間
上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在
使
即成立.
【點評】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等，考查運算能力，考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對一切x∈R，f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為
從而得出求a的取值集合；第二問在假設(shè)存在的情況下進行推理，然后把問題歸結(jié)為一個方程是否存在解的問題，通過構(gòu)造函數(shù)，研究這個函數(shù)的性質(zhì)進行分析判斷.
已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點到點F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1
（1） 求曲線C的方程.
（2） 是否存在正數(shù)m，對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A,B的任一直線，都有
?若存在，求出m的取值范圍，若不存在，請說明理由.
【解析】(1)由題意知曲線C上的點到F（1，0）的距離與到直線x=-1的距離相等.
可確定其軌跡是拋物線，即可求出其方程為y2=4x.
(2)設(shè)過點M的直線方程為x=ty+m,然后與拋物線方程聯(lián)立，消去x,利用韋達定理表示出
,再證明其小于零即可.
如圖，一個“凸輪”放置于直角坐標系X軸上方，其“底端”落在原點O處，一頂點及
中心M在Y軸正半軸上，它的外圍由以正三角形的頂點為圓心，以正三角形的邊長為半徑的三段等弧組成.
今使“凸輪”沿X軸正向滾動前進，在滾動過程中“凸輪”每時每刻都有一個“最高點”，其中心也在不斷移動位置，則在“凸輪”滾動一周的過程中，將其“最高點”和“中心點”所形成的圖形按上、下放置，應(yīng)大致為（ ）
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