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我們知道，三角形的三條中線一定會交于一點，這一點就叫做三角形的重心。重心有很多美妙的性質，如在關線段比．面積比就有一些“漂亮”結論，利用這些性質可以解決三角形中的若干問題。請你利用重心的概念完成如下問題：

（1）若O是△ABC的重心（如圖1），連結AO并延長交BC于D，證明：；

（2）若AD是△ABC的一條中線（如圖2），O是AD上一點，且滿足，試判斷O是△ABC的重心嗎？如果是，請證明；如果不是，請說明理由；

（3）若O是△ABC的重心，過O的一條直線分別與AB、AC相交于G、H（均不與△ABC的頂點重合）（如圖3），S_{四邊形BCHG}．S_△AGH分別表示四邊形BCHG和△AGH的面積，試探究的最大值。

 

在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，且AD=1，AB=2，tan∠DCB=2，對角線AC和BD相交于點O．在等腰直角三角形紙片EBF中，∠EBF=90°，EB=FB．把梯形ABCD固定不動，將三角形紙片EBF繞點B旋轉．
（1）如圖1，當三角形紙片EBF繞點B旋轉到使一邊BF與梯形ABCD的邊BC在同一條直線上時，線段AF與CE的位置關系是，數(shù)量關系是；
（2）將圖1中的三角形紙片EBF繞點B逆時針繼續(xù)旋轉，旋轉角為α（0°＜α＜90°），請你在圖2 中畫出圖形，并判斷（1）中的兩個結論是否發(fā)生變化，寫出你的猜想并加以證明；
（3）將圖1中的三角形紙片EBF繞點B逆時針旋轉到一邊BF恰好落在線段BO上時，三角形紙片EBF的另一邊EF與BC交于點M，請你在圖3中畫出圖形．
①判斷（1）中的兩個結論是否發(fā)生變化，直接寫出你的猜想，不必證明；
②若OF=

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，求BM的長． 

在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，且AD=1，AB=2，tan∠DCB=2，對角線AC和BD相交于點O．在等腰直角三角形紙片EBF中，∠EBF=90°，EB=FB．把梯形ABCD固定不動，將三角形紙片EBF繞點B旋轉．
（1）如圖1，當三角形紙片EBF繞點B旋轉到使一邊BF與梯形ABCD的邊BC在同一條直線上時，線段AF與CE的位置關系是______，數(shù)量關系是______；
（2）將圖1中的三角形紙片EBF繞點B逆時針繼續(xù)旋轉，旋轉角為α（0°＜α＜90°），請你在圖2 中畫出圖形，并判斷（1）中的兩個結論是否發(fā)生變化，寫出你的猜想并加以證明；
（3）將圖1中的三角形紙片EBF繞點B逆時針旋轉到一邊BF恰好落在線段BO上時，三角形紙片EBF的另一邊EF與BC交于點M，請你在圖3中畫出圖形．
①判斷（1）中的兩個結論是否發(fā)生變化，直接寫出你的猜想，不必證明；
②若OF=，求BM的長．