Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，且AD=1，AB=2，tan∠DCB=2，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O．在等腰直角三角形紙片EBF中，∠EBF=90°，EB=FB．把梯形ABCD固定不動(dòng)，將三角形紙片EBF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)．
（1）如圖1，當(dāng)三角形紙片EBF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到使一邊BF與梯形ABCD的邊BC在同一條直線上時(shí)，線段AF與CE的位置關(guān)系是______，數(shù)量關(guān)系是______；
（2）將圖1中的三角形紙片EBF繞點(diǎn)B逆時(shí)針繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），請(qǐng)你在圖2 中畫出圖形，并判斷（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化，寫出你的猜想并加以證明；
（3）將圖1中的三角形紙片EBF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到一邊BF恰好落在線段BO上時(shí)，三角形紙片EBF的另一邊EF與BC交于點(diǎn)M，請(qǐng)你在圖3中畫出圖形．
①判斷（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化，直接寫出你的猜想，不必證明；
②若OF=，求BM的長(zhǎng)． 

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)條件證明△ABF≌△CBE，可得AF=CE，再利用對(duì)應(yīng)角相等，互余關(guān)系證明AF⊥CE；
（2）（1）中的兩個(gè)結(jié)論沒有發(fā)生變化，利用同樣的方法證明△ABF≌△CBE，從而可得AF=CE，利用角的相等關(guān)系，互余關(guān)系可證AF⊥CE；
（3）根據(jù)AD∥BC，可證△AOD∽△COB，在Rt△DAB中，由勾股定理求BD，利用相似比求BO，已知OF=，由BF=BO-OF求BF，根據(jù)△BEF為等腰直角三角形，得BE=BF，∠3=∠OAB=45°，利用互余關(guān)系證明∠1=∠2，從而可證△BME∽△BOA，利用相似比求BM．
解答：解：（1）垂直，相等；

（2）猜想：（1）中的兩個(gè)結(jié)論沒有發(fā)生變化．
證明：如圖2，過D作DG⊥BC于G．
∵∠ABC=90°，
∴DG∥AB．
∵AD∥BC，
∴四邊形ABGD為矩形．
∴AB=DG=2，AD=BG=1．
∵tan∠DCB==2，
∴CG===1．
∴CB=AB=2．
∵∠ABC=∠EBF=90°，
∴∠ABC+∠ABE=∠EBF+∠ABE．
∴∠CBE=∠ABF．
在△ABF和△CBE中，
，
∴△ABF≌△CBE．
∴AF=CE，∠2=∠1．
∵∠1+∠3=90°，∠3=∠4，
∴∠2+∠4=90°．
∴∠5=90°．
AF⊥CE；

（3）①猜想：（1）中的兩個(gè)結(jié)論沒有發(fā)生變化．
②如圖，∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB．
∴=．
∵AD=1，BC=2，
∴=．
在Rt△DAB中，BD===．
∴OB=2OD=BD=．
∵OF=，
∴BF=BE=．
∵∠1+∠FBM=90°，∠2+∠FBM=90°，
∴∠1=∠2．
又∵∠3=∠OAB=45°，
∴△BME∽△BOA．
∴=，
∴=，
∴BM=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)．關(guān)鍵是運(yùn)用旋轉(zhuǎn)前后，圖形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)解題．