在前面的學(xué)習(xí)中，我們通過對(duì)同一面積的不同表達(dá)和比較，根據(jù)圖①和圖②發(fā)現(xiàn)并驗(yàn)證了平方差公式和完全平方公式

這種利用面積關(guān)系解決問題的方法，使抽象的數(shù)量關(guān)系因集合直觀而形象化。

【研究速算】

提出問題：47×43，56×54，79×71，……是一些十位數(shù)字相同，且個(gè)位數(shù)字之和是10的兩個(gè)兩位數(shù)相乘的算式，是否可以找到一種速算方法？

幾何建模：

用矩形的面積表示兩個(gè)正數(shù)的乘積，以47×43為例：

（1）畫長(zhǎng)為47，寬為43的矩形，如圖③，將這個(gè)47×43的矩形從右邊切下長(zhǎng)40，寬3的一條，拼接到原矩形的上面。

（2）分析：原矩形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式，47×43的矩形面積或（40＋7＋3）×40的矩形與右上角3×7的矩形面積之和，即47×43＝（40＋10）×40＋3×7＝5×4×100＋3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位數(shù)字4加1的和與4相乘，再乘以100，加上個(gè)位數(shù)字3與7的積，構(gòu)成運(yùn)算結(jié)果。

歸納提煉：

兩個(gè)十位數(shù)字相同，并且個(gè)位數(shù)字之和是10的兩位數(shù)相乘的速算方法是（用文字表述）        .

【研究方程】

提出問題：怎么圖解一元二次方程

幾何建模：

（1）變形：

（2）畫四個(gè)長(zhǎng)為，寬為的矩形，構(gòu)造圖④

（3）分析：圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式，或四個(gè)長(zhǎng)，寬的矩形之和，加上中間邊長(zhǎng)為2的小正方形面積

即：

∵

∴

∴

∵

∴

歸納提煉：求關(guān)于的一元二次方程的解

要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖，并標(biāo)注相關(guān)線段的長(zhǎng)）

【研究不等關(guān)系】

提出問題：怎么運(yùn)用矩形面積表示與的大小關(guān)系（其中）？

幾何建模：

（1）畫長(zhǎng)，寬的矩形，按圖⑤方式分割

（2）變形：

（3）分析：圖⑤中大矩形的面積可以表示為；陰影部分面積可以表示為，

畫點(diǎn)部分的面積可表示為，由圖形的部分與整體的關(guān)系可知：＞，即

＞

歸納提煉：

當(dāng)，時(shí)，表示與的大小關(guān)系

根據(jù)題意，設(shè)，，要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖，并標(biāo)注相關(guān)線段的長(zhǎng)）

在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，∠ABC=30°．D是CB上一點(diǎn)，DC=1cm．P、Q是直線CB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度沿直線CB向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從D點(diǎn)出發(fā)，以2cm/s的速度沿直線CB向右運(yùn)動(dòng)，以PQ為一邊在CB的上方作等邊三角形PQR，如圖是其運(yùn)動(dòng)過程中的某一位置．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t（s）．
（1）△PQR的邊長(zhǎng)是______cm（用含有t的代數(shù)式表示）；當(dāng)t=______時(shí)，點(diǎn)R落在AB上．
（2）若等邊△PQR與△ABC重疊部分的面積為y（cm²），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍．
（3）在P、Q移動(dòng)的同時(shí)，以點(diǎn)A為圓心、tcm為半徑的⊙A也在不斷變化，請(qǐng)直接寫出⊙A與△PQR的三邊所在的直線相切時(shí)t的值．