Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，∠ABC=30°．D是CB上一點(diǎn)，DC=1cm．P、Q是直線CB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度沿直線CB向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從D點(diǎn)出發(fā)，以2cm/s的速度沿直線CB向右運(yùn)動(dòng)，以PQ為一邊在CB的上方作等邊三角形PQR，如圖是其運(yùn)動(dòng)過程中的某一位置．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t（s）．
（1）△PQR的邊長是

 

cm（用含有t的代數(shù)式表示）；當(dāng)t=

 

時(shí)，點(diǎn)R落在AB上．
（2）若等邊△PQR與△ABC重疊部分的面積為y（cm²），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍．
（3）在P、Q移動(dòng)的同時(shí)，以點(diǎn)A為圓心、tcm為半徑的⊙A也在不斷變化，請直接寫出⊙A與△PQR的三邊所在的直線相切時(shí)t的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，直接將△PQR的三邊相加即可得出含t的表達(dá)式；易得△QRB為等腰三角形，可得到QB=QR=QP=t+1，又QB=CB-CP-PQ，兩式聯(lián)立即有5-2t=t+1，解之即可得出t．
（2）易得重疊部分為一個(gè)小等邊三角形，依題意分別得出底邊及其對應(yīng)的高即可得出重疊部分的面積．
（3）結(jié)合題意，可知有三種情況，①以點(diǎn)A為圓心、tcm為半徑的⊙A與PQ所在的直線相切，②⊙A與PQ所在的直線相切，③⊙A與RQ所在的直線相切；分別利用切線的性質(zhì)以及勾股定理，即可得出各種情況對應(yīng)的t值．

解答：解：（1）△PQR的邊長PQ=CQ-CP=（CD+DQ）-CP=（1+2t）-t=（t+1）cm；
∵當(dāng)t為某值時(shí)，點(diǎn)R落在AB上，三角形RPQ是等邊三角形，
∴QB=QR=QP=t+1，∠RQD=60°，
∴∠RQB=120°，∠QRB=30°，
∴△QRB為等腰三角形，
∵QB=CB-CP-PQ=6-t-（t+1）=5-2t，
∴5-2t=t+1，
解得：t=

4

3

s；


（2）分為四種情況：①當(dāng)0≤t＜

4

3

時(shí)，如圖1：重疊部分是△RPQ，
∵△RPQ的邊長為t+1，
∴高為

3

2

（t+1）cm，
∴y=

1

2

×（t+1）×

3

2

（t+1）=

3

4

（t+1）²；
②當(dāng)

4

3

≤t＜

5

2

時(shí)，如圖2：重疊部分為四邊形MNQP，
∵∠B=30°，且△RPQ為等邊三角形，
∴∠RPQ=∠R=60°，
∴∠PMN=90°，且PB=BC-CP=6-t，∠RNM=30°，
∴PM=

1

2

（6-t），
∴MR=PR-PM=（t+1）-

1

2

（6-t）=

1

2

（3t-4），
∴MN=MR•tan60°=

3

2

（3t-4），
∴y=

3

4

（t+1）²-

3

8

（3t-4）²
=-

7 3

8

t²+

7 3

2

t-

7 3

4

=-

7 3

8

（t-2）²+

7 3

4

；
③當(dāng)

5

2

≤t＜6時(shí)，如圖3：同理可得y=

3

8

（6-t）²；
④當(dāng)t≥6時(shí)，如圖4：此時(shí)y=0．

（3）（一）如圖a，
⊙A與RQ所在的直線相切時(shí)，切點(diǎn)為N，N在QR的延長線上，AB與NQ交于L點(diǎn)，
AN=t，得到AL=2t，
QB=5-2t，得到BL=

3

（5-2t），
AB=4

3

=BL-AL=

3

（5-2t）-2t，
得到t=

3- 3

4

．
即t=

3- 3

4

．
如圖b，若NR交AB與E，
∵⊙A半徑=AN=t，則AE=2t，QE=QB=5-2t，BE=

3

（5-2t），
AB=4

3

=BE+AE=

3

（5-2t）+2t，
∴t=

3+ 3

4

，
（二）如圖c：
當(dāng)⊙A與PQ所在的直線相切時(shí)，
∵AC⊥PQ所在的直線，
∴⊙A半徑=AC=t=2

3

．
此時(shí)，若設(shè)AB與PR相交于M，
則AM=⊙A半徑=2

3

，
∴BM=4

3

-2

3

=2

3

，
∴∠PMB=90°，
∴⊙A 也同時(shí)與PR相切．

（三）如圖d：
⊙A與PR所在的直線相切時(shí)，切點(diǎn)為M，可知道點(diǎn)M在AB延長線上，
在Rt△PBM中，∠ABC=30°，有AM=t，BM=AM-AB=t-4

3

，斜邊PB=CP-BC=t-6，
所以

3

2

PB=BM，有

3

2

（t-6）=t-4

3

，
得到t=4

3

+6；

綜上所述，當(dāng)⊙A與QR所在的直線相切時(shí)，t=

3- 3

4

或t=

3+ 3

4

，；
當(dāng)⊙A與PQ所在的直線相切時(shí)，t=2

3

；
當(dāng)⊙A與PR所在的直線相切，t=4

3

+6．

點(diǎn)評：本題考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識(shí)．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，最后一問屬于開放性試題，主要考查的是切線性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用；本題是一道動(dòng)態(tài)幾何題，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．