如果三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的長，那么稱這個三角形為“好玩三角形”

(1)請用直尺與圓規(guī)畫一個“好玩三角形”；

(2)如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，求證：△ABC是“好玩三角形”；

(3)如圖2，已知菱形ABCD的邊長為a，∠ABC＝2β，點P，Q從點A同時出發(fā)，以相同的速度分別沿折線AB－BC和AD－DC向終點C運動，記點P所經(jīng)過的路程為S

①當(dāng)β＝45°時，若△APQ是“好玩三角形”，試求的值

②當(dāng)tanβ的取值在什么范圍內(nèi)，點P，Q在運動過程中，有且只有一個△APQ能成為“好玩三角形”請直接寫出tanβ的取值范圍．

(4)本小題為選做題

依據(jù)(3)中的條件，提出一個關(guān)于“在點P，Q的運動過程中，tanβ的取值范圍與△APQ是“好玩三角形”的個數(shù)關(guān)系的真命題(“好玩三角形”的個數(shù)限定不能為1)．

已知，正方形DEFG內(nèi)接于△ABC中，且點E，F(xiàn)在BC上，點D，G分別在AB，AC上，

(1)如圖①，若△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，∠A＝90°，S_△ADG＝2，則S_△ABC＝________．

(2)如圖②，若△ABC是直角三角形，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，求正方形的邊長．

(3)如圖③，若△ABC是任意三角形，S_△ADG＝1，S_△BDE＝3，S_△FCG＝1，則正方形的邊長為________．

(4)如圖④，若△ABC是任意三角形，求證：