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（本小題滿分12分）

    已知橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，離心率為，且拋物線與橢圓C₁有公共焦點(diǎn)F₂（1，0）。

   （1）求橢圓和拋物線的方程；

   （2）設(shè)A、B為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，過原點(diǎn)O作直線AB的垂線OD，垂足為D，求點(diǎn)D為軌跡方程。

 

已知Ａ、B是圓上滿足條件的兩個(gè)點(diǎn)，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，分別過A、B作軸的垂線段，交橢圓于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足.（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；（2）設(shè)S₁和S₂分別表示和的面積，當(dāng)點(diǎn)P在x軸的上方，點(diǎn)A在x軸的下方時(shí)，求的最大值。

 

設(shè)A、B分別為雙曲線的左右頂點(diǎn)，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為．
（1）求雙曲線的方程；
（2）已知直線與雙曲線的右支交于M、N兩點(diǎn)，且在雙曲線的右支上存在點(diǎn)D，使，求t的值及點(diǎn)D的坐標(biāo)．

如圖，設(shè)A，B分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，過原點(diǎn)O作直線交線段AB于點(diǎn)M（異于點(diǎn)A，B），交橢圓于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在第一象限內(nèi)），△ABC和△ABD的面積分別為S₁與S₂．
（1）若M是線段AB的中點(diǎn)，直線OM的方程為，求橢圓的離心率；
（2）當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的最大值．