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        1. 如圖,設(shè)A,B分別為橢圓的右頂點和上頂點,過原點O作直線交線段AB于點M(異于點A,B),交橢圓于C,D兩點(點C在第一象限內(nèi)),△ABC和△ABD的面積分別為S1與S2
          (1)若M是線段AB的中點,直線OM的方程為,求橢圓的離心率;
          (2)當點M在線段AB上運動時,求的最大值.

          【答案】分析:(1)由中點坐標公式求出A,B的中點M,把M坐標代入直線y=得到a與b的關(guān)系,結(jié)合a2=b2+c2可求橢圓的離心率;
          (2)設(shè)出C和D點的坐標,求出直線AB的方程,由點到直線的距離公式求出C和D到直線AB的距離,因為△ABC和△ABD同底,所以把兩個三角形的面積比轉(zhuǎn)化為C,D到直線AB的距離比,然后借助于基本不等式求最小值.
          解答:解:(1)由題設(shè),得A(a,0),B(0,b),則點M().
          因為點M在直線y=上,所以,則b=
          從而
          故橢圓的離心率e=
          (2)設(shè)C(x,y)(x>0,y>0),則,D(-x,-y).
          由題設(shè),直線AB的方程為,即ax+by-ab=0.
          因為點C在直線AB的上方,
          所以點C到直線AB的距離=
          同理可得點D到直線AB的距離=
          因為,即,且bx>0,ay>0.
          所以=
          當且僅當bx=ay時等號成立.
          ,得
          因此,
          所以,當時,取得最大值,最大值為3-2
          點評:本題考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì),考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系,突出考查了數(shù)形結(jié)合和等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法,解答此題的關(guān)鍵是運用線性規(guī)劃的知識去掉點到直線的距離中的絕對值.屬難題.
          練習冊系列答案
          相關(guān)習題

          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (2013•鎮(zhèn)江二模)如圖,設(shè)A,B分別為橢圓E:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          的右頂點和上頂點,過原點O作直線交線段AB于點M(異于點A,B),交橢圓于C,D兩點(點C在第一象限內(nèi)),△ABC和△ABD的面積分別為S1與S2
          (1)若M是線段AB的中點,直線OM的方程為y=
          1
          3
          x
          ,求橢圓的離心率;
          (2)當點M在線段AB上運動時,求
          S1
          S2
          的最大值.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (2012•嘉定區(qū)三模)如圖,設(shè)A、B是單位圓O上的動點,且A、B分別在第一、二象限.C是圓O與x軸正半軸的交點,△AOB為等邊三角形.記以O(shè)x軸正半軸為始邊,射線OA為終邊的角為θ.
          (1)若點A的坐標為(
          3
          5
          ,
          4
          5
          ),求
          sin2θ+sin2θ
          cos2θ+cos2θ
          的值;
          (2)設(shè)f(θ)=|BC|2,求函數(shù)f(θ)的解析式和值域.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (2010•成都一模)如圖,設(shè)A、B、C是球O面上的三點,我們把大圓的劣弧
          BC
          CA
          、
          AB
          在球面上圍成的部分叫做球面三角形,記作球面三角形ABC,在球面三角形ABC中,OA=1,設(shè)
          BC
          =a,
          CA
          =b,
          AB
          =c,a,b.c∈(0,π)
          ,二面角B-OA-C、
          C-OB-A、A-OC-B的大小分別為α、β、γ,給出下列命題:
          ①若α=β=γ=
          π
          2
          ,則球面三角形ABC的面積為
          π
          2
          ;
          ②若a=b=c=
          π
          3
          ,則四面體OABC的側(cè)面積為
          π
          2

          ③圓弧
          AB
          在點A處的切線l1與圓弧
          CA
          在點A處的切線l2的夾角等于a;
          ④若a=b,則α=β.
          其中你認為正確的所有命題的序號是
          ①②④
          ①②④

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          科目:高中數(shù)學 來源:2012年上海市嘉定區(qū)高考數(shù)學三模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

          如圖,設(shè)A、B是單位圓O上的動點,且A、B分別在第一、二象限.C是圓O與x軸正半軸的交點,△AOB為等邊三角形.記以O(shè)x軸正半軸為始邊,射線OA為終邊的角為θ.
          (1)若點A的坐標為(,),求的值;
          (2)設(shè)f(θ)=|BC|2,求函數(shù)f(θ)的解析式和值域.

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          同步練習冊答案