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已知橢圓Γ的方程為（a>b>0），A（0，b） 、B（0，-b）和 Q（a，0）為Γ的三個頂點(diǎn)。
（Ⅰ）若點(diǎn)M滿足，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)直線l₁：y=k₁x+p交橢圓Γ于C、D兩點(diǎn)，交直線l₂：y=k₂x于點(diǎn)E。若k₁·k₂=-，證明：E為CD的中點(diǎn)；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)P在橢圓Γ內(nèi)且不在x軸上，如何作過PQ中點(diǎn)F的直線l，使得l與橢圓Γ的兩個交點(diǎn)P₁、P₂滿足？令a=10，b=5，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-8，-1）。若橢圓Γ上的點(diǎn)P₁、P₂滿足，求點(diǎn)P₁、P₂的坐標(biāo)。

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已知橢圓Γ的方程為（a>b>0），A（0，b），B（0，-b）和 Q（a，0）為Γ的三個頂點(diǎn)。
（1）若點(diǎn)M滿足，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線l₁：y=k₁x+p交橢圓Γ于C，D兩點(diǎn)，交直線l₂：y=k₂x于點(diǎn)E，若，證明：E為CD的中點(diǎn)；
（3）設(shè)點(diǎn)P在橢圓Γ內(nèi)且不在x軸上，如何作過PQ中點(diǎn)F的直線l，使得l與橢圓Γ的兩個交點(diǎn)P₁，P₂滿足？令a=10，b=5，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-8，-1）。若橢圓Γ上的點(diǎn)P₁，P₂滿足，求點(diǎn)P₁，P₂的坐標(biāo)。

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已知曲線C：y=x²與直線l：x-y+2=0交于兩點(diǎn)A（x_A，y_A）和B（x_B，y_B），且x_A＜x_B。記曲線C在點(diǎn)A和點(diǎn)B之間那一段L與線段AB所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為D。設(shè)點(diǎn)P（s，t）是L上的任一點(diǎn)，且點(diǎn)P與點(diǎn)A和點(diǎn)B均不重合，
（1）若點(diǎn)Q是線段AB的中點(diǎn)，試求線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）若曲線G：x²-2ax+y²-4y+a²+=0與點(diǎn)D有公共點(diǎn)，試求a的最小值。

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如圖，P是拋物線C：y=x²上一點(diǎn)，直線l過點(diǎn)P且與拋物線C交于另一點(diǎn)Q，
（Ⅰ）若直線l與過點(diǎn)P的切線垂直，求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）若直線l不過原點(diǎn)且與x軸交于點(diǎn)S，與y軸交于點(diǎn)T，試求的取值范圍。

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如圖，P是拋物線C：y=x²上一點(diǎn)，直線l過點(diǎn)P且與拋物線C交于另一點(diǎn)Q，
（Ⅰ）若直線l與過點(diǎn)P的切線垂直，求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）若直線l不過原點(diǎn)且與x軸交于點(diǎn)S，與y軸交于點(diǎn)T，試求的取值范圍。

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一、選擇題：本小題共8小題，每小題5分，共40分.

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

B

D

B

B

A

C

B

C

二、填空題：本小題9―12題必答，13、14、15小題中選答2題，若全答只計前兩題得分，共30分.

9.  35         10.            11.           12. 

13.  或         14.   10          15.

三、解答題：共80分.

16題（本題滿分13分）

解：（1）要使f(x)有意義，必須，即

得f(x)的定義域?yàn)?sub>………………………………４分

�。ǎ玻┮�在上，

　　　　當(dāng)時取得最大值………………………………………５分

　　　　當(dāng)時，，得f(x)的遞減區(qū)間為

，遞增區(qū)間為……９分

　（３）因f(x)的定義域?yàn)?sub>，關(guān)于原點(diǎn)不對稱，所以f(x)為非奇非偶函數(shù).　……………………………………………………………………１３分

17題（本題滿分13分）

解：（1）當(dāng)且僅當(dāng)時，方程組有唯一解.因的可能情況為三種情況………………………………3分

        而先后兩次投擲骰子的總事件數(shù)是36種，所以方程組有唯一解的概率

        ……………………………………………………………………6分

（2）因?yàn)榉匠探M只有正數(shù)解，所以兩直線的交點(diǎn)在第一象限，由它們的圖像可知

          ………………………………………………………………9分

解得（a,b）可以是（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（5，1），（5，2），（6，1），（6，2），所以方程組只有正數(shù)解的概率………………………………………………………………………13分

18題（本題滿分14分）

解：（1）因，所以AD⊥平面CDE，ED是AE在平面CDE上的射影，∠AED=45⁰，所以直線AE與平面CDE所成的角為45⁰………………………………4分（2）解法一：如圖，取AB、AD所在直線為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系A(chǔ)―xyz.

則 ………5分

設(shè)，  

得…………9分

由，得，而是平面CDE的一個法向量，且平面CDE，

所以MN//平面CDE…………………………………………………………………………14分

解法二：設(shè)在翻轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)M到平面CDE的距離為，點(diǎn)N到平面CDE的距離為，則，同理

所以，故MN//平面CDE……………………………………………………………14分

解法三：如圖，過M作MQ//AD交ED于點(diǎn)Q，

過N作NP//AD交CD于點(diǎn)P，

連接MN和PQ…………………………………5分

設(shè)ㄓADE向上翻折的時間為t，則，………………7分

因，點(diǎn)D是CE的中點(diǎn)，得，四邊形ABCD為正方形，ㄓADE為等腰三角形. ……………………10分

在RtㄓEMQ和RtㄓDNP中，ME=ND，∠MEQ=∠NDP=45⁰，所以RtㄓEMQ≌RtㄓDNP，

所以MQ//NP且MQ=NP，的四邊形MNPQ為平行四邊形，所以MN//PQ，因平面CDE，

平面CDE，所以MN//平面CDE……………………………………………………14分

19題（本題滿分14分）

解：（1）由已知得，解得：……………………2分

所求橢圓方程為………………………………………………4分

（2）因，得……………………………………7分

（3）因點(diǎn)即A（3，0），設(shè)直線PQ方程為………………8分

則由方程組，消去y得：

設(shè)點(diǎn)則……………………10分

因，得，

又，代入上式得

，故

解得：，所求直線PQ方程為……………………14分

20題（本題滿分14分）

解：（1）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?sub>，…………2分

①當(dāng)時，>0，f(x)在上遞增.………………………………4分

②當(dāng)時，令得解得：

，因（舍去），故在上<0，f(x)遞減；在上，>0，f(x)遞增.…………8分

（2）由（1）知在內(nèi)遞減，在內(nèi)遞增.

……………………………………11分

故，又因

故，得………………14分

21題（本題滿分12分）

解：（1）

解法一：由，可得

………………………………2分

所以是首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列.

所以即……………………4分

解法二：因且得

，

，

，

…………………………………………………………

由此可猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式為：…………2分

以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)n=1時，，等式成立；

②假設(shè)當(dāng)n=k時，有成立，那么當(dāng)n=k+1時，

     成立

所以，對于任意，都有成立……………………4分

（2）解：設(shè)……①

……②

當(dāng)時，①②得

…………6分

這時數(shù)列的前n項(xiàng)和

當(dāng)時，，這時數(shù)列的前n項(xiàng)和

…………………………………………8分

（3）證明：因得，顯然存在k=1，使得對任意，

有成立；…………………………………………9分

①當(dāng)n=1時，等號成立；

②當(dāng)時，因

所以，存在k=1，使得成立……………12分