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設(shè)向量

α

=（a，b），

β

=（m，n），其中a，b，m，n∈R，由不等式|

α

•

β

|≤|

α

|•|

β

|恒成立，可以證明（柯西）不等式（am+bn）²≤（a²+b²）（m²+n²）（當(dāng)且僅當(dāng)

α

∥

β

，即an=bm時(shí)等號(hào)成立），己知x，y∈R⁺，若

x

+3

y

＜k•

x+y

恒成立，利用柯西不等式可求得實(shí)數(shù)k的取值范圍是．

已知函數(shù)，

（1）求函數(shù)的定義域；

（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；

（3）已知，命題p：關(guān)于x的不等式對(duì)函數(shù)的定義域上的任意恒成立；命題q：指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)．若“p或q”為真，“p且q”為假，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

【解析】第一問(wèn)中，利用由 即

第二問(wèn)中，，得：

，

第三問(wèn)中，由在函數(shù)的定義域上 的任意，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。當(dāng)命題p為真時(shí)，；而命題q為真時(shí)：指數(shù)函數(shù)．因?yàn)椤皃或q”為真，“p且q”為假，所以

當(dāng)命題p為真，命題q為假時(shí)；當(dāng)命題p為假，命題q為真時(shí)分為兩種情況討論即可 。

解：（1）由 即

（2），得：

，

（3）由在函數(shù)的定義域上 的任意，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。當(dāng)命題p為真時(shí)，；而命題q為真時(shí)：指數(shù)函數(shù)．因?yàn)椤皃或q”為真，“p且q”為假，所以

當(dāng)命題p為真，命題q為假時(shí)，

當(dāng)命題p為假，命題q為真時(shí)，，

所以

 

請(qǐng)先閱讀：

設(shè)平面向量=（a₁，a₂），=（b₁，b₂），且與的夾角為è，

因?yàn)?sub>•=||||cosè，

所以•≤||||．

即，

當(dāng)且僅當(dāng)è=0時(shí)，等號(hào)成立．

（I）利用上述想法（或其他方法），結(jié)合空間向量，證明：對(duì)于任意a₁，a₂，a₃，b₁，b₂，b₃∈R，都有成立；

（II）試求函數(shù)的最大值．