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（1）證明：；
（2）當點為線段的中點時，求異面直線與所成角的余弦值；
（3）試問E點在何處時，平面與平面所成二面角的平面角的余弦值為．

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如圖，A₁A⊥面ABCD，將四邊形ABCD沿平移至A₁B₁C₁D₁，∠ADC＝90°，△ABC為等邊三角形，且AA₁＝AD＝DC＝2．

(Ⅰ)求異面直線AC₁與BC所成的角余弦值；

(Ⅱ)求證：BD⊥平面ACC₁；

(Ⅲ)設M是線段BD上的點，當DM為何值時，D₁M⊥平面A₁C₁D．

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如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點E在棱AB上移動．
（Ⅰ）證明：D₁E⊥A₁D；
（Ⅱ）當E為AB的中點時，求異面直線AC與D₁E所成角的余弦值；
（Ⅲ）AE等于何值時，二面角D₁-EC-D的大小為

π

4

．

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一、填空題：（本大題共14小題，每小題5分，共70分．）

1．；  2．；   3．；  4．；  5． 11；  6． 210； 7． 16；   8． 3；  9．； 10．； 11． 7； 12．； 13．；  14．（結果為，不扣分）.

二、解答題：（本大題共6小題,共90分．）

15．（本小題滿分14分）

解：（1）50；0.04；0.10 ．    ………… 6分

       （2）如圖．      ……………… 10分

       （3）在隨機抽取的名同學中有名

出線,．      …………… 13分

答：在參加的名中大概有63名同學出線．      

   ………………… 14分

16．（本小題滿分14分）

解：真，則有，即．                    ------------------4分

真，則有，即．     ----------------9分

若、中有且只有一個為真命題，則、一真一假．

①若真、假，則，且，即≤；   ----------------11分

②若假、真，則，且，即3≤．    ----------------13分

故所求范圍為：≤或3≤．                          -----------------14分

17．（本小題滿分15分）

解：（1）設在（1）的條件下方程有實根為事件．

數(shù)對共有對．                                   ------------------2分

若方程有實根，則≥，即．                 -----------------4分

則使方程有實根的數(shù)對有 共對．                                                         ------------------6分

所以方程有實根的概率．                          ------------------8分

（2）設在（2）的條件下方程有實根為事件．

，所以．

-------------10分

方程有實根對應區(qū)域為，．          --------------12分

所以方程有實根的概率．------------------15分

18．（本小題滿分15分）

解：（1）易得

．當時，在直角中，，故．所以，．     ------------4分

所以．

所以異面直線與所成角余弦值為．- -----7分

（2）設直線與平面所成的角為，平面的一個法向量為.

則由．得可取，-------11分

， ，------------13分

，，． ，．

即直線與平面所成角的取值范圍為．         ------------------------15分

19．（本小題滿分16分）

解：（1）設關于l的對稱點為，則且，

解得，，即，故直線的方程為．

由，解得．                       ------------------------5分

（2）因為，根據(jù)橢圓定義，得

，所以．又，所以．所以橢圓的方程為．                                        ------------------------10分

（3）假設存在兩定點為，使得對于橢圓上任意一點（除長軸兩端點）都有（為定值），即?，將代入并整理得…（＊）．由題意，（＊）式對任意恒成立，所以，解之得 或．

所以有且只有兩定點，使得為定值．   ---------------16分

20．（本小題滿分16分）

解：（1）．                        ------------------------2分

因為，令得；令得．所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為．                                           ------------------------5分

（2）因為，設，則．----------6分

設切點為，則切線的斜率為，切線方程為即，由點在切線上知，化簡得，即．

所以僅可作一條切線，方程是．              ------------------------9分

（3），．                  

在上恒成立在上的最小值．--------------11分

①當時，在上單調(diào)遞減，在上最小值為，不符合題意，故舍去；               ------------------------12分

②當時，令得．

當時，即時，函數(shù)在上遞增，的最小值為；解得．                                       ------------------------13分

當時，即時，函數(shù)在上遞減，的最小值為，無解；                                                -----------------------14分

當時，即時，函數(shù)在上遞減、在上遞增，所以的最小值為，無解．                ------------------------15分

綜上，所求的取值范圍為．                     ------------------------16分