題目列表(包括答案和解析)
函數(shù)
的定義域?yàn)?0，1](a為實(shí)數(shù))
(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，求函數(shù)y＝f(x)的值域；
(2)若函數(shù)y＝f(x)在定義域上是減函數(shù)，求a的取值范圍；
(3)求函數(shù)y＝f(x)在(0，1]上的最大值及最小值，并求出此時(shí)x的值．
若函數(shù)
同時(shí)滿足下列條件，（1）在D內(nèi)為單調(diào)函數(shù)；（2）存在實(shí)數(shù)
，
．當(dāng)
時(shí)，
，則稱此函數(shù)為D內(nèi)的等射函數(shù)，設(shè)
則：
(1) 
在(－∞,+∞)的單調(diào)性為 (填增函數(shù)或減函數(shù))；(2)當(dāng)為R內(nèi)的等射函數(shù)時(shí)，
的取值范圍是
．
若函數(shù)
同時(shí)滿足下列條件，（1）在D內(nèi)為單調(diào)函數(shù)；（2）存在實(shí)數(shù)
，
．當(dāng)
時(shí)，
，則稱此函數(shù)為D內(nèi)的等射函數(shù)，設(shè)
則：
(1) 
在(－∞,+∞)的單調(diào)性為 (填增函數(shù)或減函數(shù))；(2)當(dāng)為R內(nèi)的等射函數(shù)時(shí)，
的取值范圍是 ．
設(shè)函數(shù)
．
(Ⅰ) 當(dāng)
時(shí)，求
的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ) 若在
上的最大值為
，求
的值．
【解析】第一問中利用函數(shù)
的定義域?yàn)椋?，2），
.
當(dāng)a=1時(shí)，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，
），單調(diào)遞減區(qū)間為（，2）；
第二問中，利用當(dāng)
時(shí)，
>0, 即在上單調(diào)遞增，故在上的最大值為f(1)=a 因此a=1/2.
解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，2），.
（1）當(dāng)
時(shí)，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，），單調(diào)遞減區(qū)間為（，2）；
（2）當(dāng)
時(shí)，
>0, 即在上單調(diào)遞增，故在上的最大值為f(1)=a 因此a=1/2.
設(shè)函數(shù)
，其中
為自然對數(shù)的底數(shù).
（1）求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（2）記曲線
在點(diǎn)
（其中
）處的切線為
，與
軸、
軸所圍成的三角形面積為
，求的最大值.
【解析】第一問利用由已知
，所以
，
由
，得
，
所以，在區(qū)間
上，
，函數(shù)
在區(qū)間上單調(diào)遞減；
在區(qū)間
上，
，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；
第二問中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911301664012899/SYS201207091130522182623148_ST.files/image020.png">，所以曲線在點(diǎn)
處切線為：
.
切線與軸的交點(diǎn)為
，與軸的交點(diǎn)為
，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911301664012899/SYS201207091130522182623148_ST.files/image006.png">，所以
，
， 在區(qū)間
上，函數(shù)
單調(diào)遞增，在區(qū)間
上，函數(shù)單調(diào)遞減.所以，當(dāng)
時(shí)，有最大值，此時(shí)
，
解：（Ⅰ）由已知，所以，
由，得， 所以，在區(qū)間上，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；
在區(qū)間上，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911301664012899/SYS201207091130522182623148_ST.files/image020.png">，所以曲線在點(diǎn)處切線為：.
切線與軸的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911301664012899/SYS201207091130522182623148_ST.files/image006.png">，所以
，
， 在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞增，在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞減.所以，當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)，
所以，的最大值為
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