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          題目列表(包括答案和解析)
          

		
		
          

          


          
	
          				
          
									
          （本小題12分）本某中學為研究學生的身體素質(zhì)與課外體育鍛煉時間的關系，對400名高一學生的一周課外體育鍛煉時間進行調(diào)查，結果如下表所示：
          


          
 
          
  
  
          鍛煉時間（分鐘）
          
            		
  
  
          
            		
  
  
          
            		
  
  
          
            		
  
  
          
            		
  
  
          
            		
  
  
          
            		
 
          
 
          
  
  
          人數(shù)
          
            		
  
  
          40
          
            		
  
  
          60
          
            		
  
  
          80
          
            		
  
  
          100
          
            		
  
  
          80
          
            		
  
  
          40
          
            		
 
          

          


          （1）完成頻率分布直方圖，并估計該中學高一學生每周參加
          


          課外體育鍛煉時間的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的組中值作代表）；
          


          


          （2）現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取容量為20的樣本，
          


          ①應抽取多少名課外體育鍛煉時間為分鐘的學生；
          


          ②若從①中被抽取的學生中隨機抽取2名，求這2名學生課外體育鍛煉時間均為分鐘的概率。
          


           
          

			
          
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          （本小題12分）如圖，甲船以每小時30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行．當甲船位于A1處時，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處，此時兩船相距20海里．當甲船航行20分鐘到達A2處時，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處，此時兩船相距10海里，問乙船每小時航行多少海里？
          


           
          

			
          
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          （本小題12分）某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開發(fā)某種新能源產(chǎn)品，估計能獲得x∈[10,1000]萬元的投資收益.現(xiàn)準備制定一個對科研課題組的獎勵方案：獎金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加，且獎金不超過9萬元，同時獎金不超過投資收益的20%.
          


          （Ⅰ）若建立函數(shù)f(x)模型制定獎勵方案，試用數(shù)學語言表述公司對獎勵函數(shù)f(x)模型
          


          的基本要求；
          


          （Ⅱ）現(xiàn)有兩個獎勵函數(shù)模型：(i) y＝；(ii) y＝4lgx－3.試分析這兩個函數(shù)模型
          


          是否符合公司要求？
          


           
          

			
          
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          （本小題12分）提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度（單位：千米/小時）是車流密度（單位：輛/千米）的函數(shù)．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時，研究表明；當時，車流速度v是車流密度的一次函數(shù)．
          


          （Ⅰ）當時，求函數(shù)的表達式；
          


          （Ⅱ）當車流密度為多大時，車流量（單位時間內(nèi)通過橋上某觀點的車輛數(shù)，單位：輛/每小時）可以達到最大，并求出最大值（精確到1輛/小時）
          


           
          

			
          
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          （本小題12分）
          


          一海輪以20海里/小時的速度向正東航行，它在A點時測得燈塔P在船的北偏東60°方向上，2小時后船到達B點時測得燈塔P在船的北偏東45°方向上。求：
          


          ① 
船在B點時與燈塔P的距離。
          


          ② 
已知以點P為圓心，55海里為半徑的圓形水城內(nèi)有暗礁，那么這船繼續(xù)向正東航行，有無觸礁的危險？
          


           
          


           
          


           
          

			
          
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          一、1 B     2 D    3 A   4 D     5 D     6 B    
          7 A     8  A   9 C  
10 D    11 B    12 B
             二、13、3      14、-160    15、     16、   
             三、17、解: (1)     ……
3分
               的最小正周期為                        …………………
5分
          (2) ,         
…………………  7分      
                                 
………………… 10分
                                          …………………
11分
           當時,函數(shù)的最大值為1,最小值 ………… 12分
           18、（I）解：設這箱產(chǎn)品被用戶拒絕接收事件為A,被接收為，則由對立事件概率公式
             得：
          即這箱產(chǎn)品被用戶拒絕接收的概率為           …………  
6分
          （II）                

                                   
         ………… 10分
          1
          2
          3
          P
                                                                   
…………11分 
          ∴ E=            
                     …………12分
          19、解法一：
          （Ⅰ）連結B1C交BC于O，則O是BC的中點，連結DO。
          ∵在△AC中，O、D均為中點，
          ∴A∥DO   …………………………2分
          ∵A平面BD，DO平面BD，
          ∴A∥平面BD。…………………4分
          （Ⅱ）設正三棱柱底面邊長為2，則DC = 1。
              ∵∠DC = 60°，∴C= 。
          作DE⊥BC于E。
          ∵平面BC⊥平面ABC，
          ∴DE⊥平面BC
          作EF⊥B于F，連結DF，則 DF⊥B
          ∴∠DFE是二面角D-B-C的平面角……………………………………8分
          在Rt△DEC中，DE=
          在Rt△BFE中，EF =
BE?sin
          ∴在Rt△DEF中，tan∠DFE = 
          ∴二面角D－B－C的大小為arctan………………12分
          解法二：以AC的中D為原點建立坐標系，如圖，
          設| AD | = 1∵∠DC =60°∴| C|
= 。
               則A（1，0，0），B（0，，0），C（-1，0，0），
          （1，0）， ，
          （Ⅰ）連結C交B于O是C的中點，連結DO，則          
       O.       =
          ∵A平面BD，
          ∴A∥平面BD.……………………………………………………………4分
          （Ⅱ）=（-1，0，），
                 設平面BD的法向量為n = （ x , y , z ），則
                 即  則有= 0令z = 1
          則n = （，0，1）…………………………………………………………8分
                 設平面BC的法向量為m = ( x′
,y′，z′)
          


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              ′
              ′
              ′
              ′
                    令y = -1，解得m = （，-1，0）
                    二面角D ―B―C的余弦值為cos＜n , m＞＝
              ∴二面角D―B―C的大小為arc cos         
…………１２分
              20、解: 對函數(shù)求導得:
……………2分
              (Ⅰ)當時,                   
              令解得
或
                解得
              所以, 單調(diào)增區(qū)間為，,
              單調(diào)減區(qū)間為(-1,1)           
                        ……………5分
              (Ⅱ) 令,即,解得或     ………… 6分
              由時,列表得：
               
              x
              1
              +
              0
              －
              0
              +
              極大值
              極小值
              ……………8分
              對于時，因為,所以，
              ∴>0                                                   
…………  
10 分
              對于時，由表可知函數(shù)在時取得最小值
              所以，當時，                              

              由題意，不等式對恒成立，
              所以得，解得                         
……………12分
              21、解： （I）依題意知,點的軌跡是以點為焦點、直線為其相應準線,
              離心率為的橢圓
              設橢圓的長軸長為2a,短軸長為2b,焦距為2c,
              又，，∴點在x軸上,且,則3，
              解之得：,     
              ∴坐標原點為橢圓的對稱中心  
              ∴動點M的軌跡方程為：                 …………    4分
              （II）設,設直線的方程為（－２〈n〈2）,代入得
                                   ………… 5分
              ,  
                   …………  6分
              ，K（2，0）,,
              ,
                
              解得:
(舍)      ∴ 直線EF在X軸上的截距為
   …………8分
              （Ⅲ）設,由知,  
              直線的斜率為                …………    10分
              當時,;
              當時,,
              時取“=”）或時取“=”），
                                              

              綜上所述                         …………  12分  
              22、（I）解：方程的兩個根為，，
              當時，，所以；
              當時，，，所以；
              當時，，，所以時；
              當時，，，所以．    …………  4分
              （II）解：
              ．            
           …………  8分
              （III）證明：，
              所以，
              ．          
            …………  9分
              當時，
              ，
                                                      
………… 
11分
              同時，
              ．                                   
………… 
13分
              綜上，當時，．                    
………… 
14分