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        1. 已知f(n)=(2n+7)?3n+9,存在自然數(shù)m,使得對任意n∈N,都能使m整除f(n).則最大的m的值為 查看更多

           

          題目列表(包括答案和解析)

          已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然數(shù)m,使得對任意nN,都能使m整除f(n),則最大的m的值為(    )

          A、30           B、 26              C、 36          D、 6

           

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          已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然數(shù)m,使得對任意n∈N,都能使m整除f(n),求m的最大值。

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          已知f(n)=(2n+7)·3n+9,是否存在自然數(shù)m,使得對任意n∈N+,都能使m整除f(n),如果存在,求出最大的m值,并證明你的結論;若不存在,說明理由.

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          已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然數(shù)m,使得對任意n∈N*,都能使m整除f(n),求最大的m的值.

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          已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然數(shù)m,使得對任意正整數(shù)n,都能使m整除f(n),猜測出最大的m的值。并用數(shù)學歸納法證明你的猜測是正確的。

          【解析】本試題主要考查了歸納猜想的運用,以及數(shù)學歸納法的證明。

          ∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36

          ∴f(1),f(2),f(3)能被36整除,猜想f(n)能被36整除

          然后證明n=1,2時,由上得證,設n=k(k≥2)時,

          f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除,則n=k+1時,

          f(k+1)-f(k)=(2k+9)·3k+1?-(2k+7)·3k=(6k+27)·3k-(2k+7)·3k

          =(4k+20)·3k=36(k+5)·3k-2?(k≥2)  證明得到。解析  ∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36

          ∴f(1),f(2),f(3)能被36整除,猜想f(n)能被36整除 

          證明  n=1,2時,由上得證,設n=k(k≥2)時,

          f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除,則n=k+1時,

          f(k+1)-f(k)=(2k+9)·3k+1?-(2k+7)·3k=(6k+27)·3k-(2k+7)·3k

          =(4k+20)·3k=36(k+5)·3k-2?(k≥2)  f(k+1)能被36整除

          ∵f(1)不能被大于36的數(shù)整除,∴所求最大的m值等于36

           

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          難點磁場

          解:假設存在a、bc使題設的等式成立,這時令n=1,2,3,有6ec8aac122bd4f6e

          于是,對n=1,2,3下面等式成立

          1?22+2?32+…+n(n+1)2=6ec8aac122bd4f6e

          Sn=1?22+2?32+…+n(n+1)2

          n=k時上式成立,即Sk=6ec8aac122bd4f6e (3k2+11k+10)

          那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=6ec8aac122bd4f6e(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2

          =6ec8aac122bd4f6e (3k2+5k+12k+24)

          =6ec8aac122bd4f6e[3(k+1)2+11(k+1)+10]

          也就是說,等式對n=k+1也成立.

          綜上所述,當a=3,b=11,c=10時,題設對一切自然數(shù)n均成立.

          殲滅難點訓練

          一、1.解析:∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36

          f(1),f(2),f(3)能被36整除,猜想f(n)能被36整除.

          證明:n=1,2時,由上得證,設n=k(k≥2)時,

          f(k)=(2k+7)?3k+9能被36整除,則n=k+1時,

          f(k+1)-f(k)=(2k+9)?3k+1?-(2k+7)?3k

          =(6k+27)?3k-(2k+7)?3k

          =(4k+20)?3k=36(k+5)?3k2?(k≥2)

          6ec8aac122bd4f6ef(k+1)能被36整除

          f(1)不能被大于36的數(shù)整除,∴所求最大的m值等于36.

          答案:C

          2.解析:由題意知n≥3,∴應驗證n=3.

          答案:C

          二、3.解析:6ec8aac122bd4f6e

          6ec8aac122bd4f6e

          6ec8aac122bd4f6e(nN*)

          6ec8aac122bd4f6e(nN*)

          6ec8aac122bd4f6e

          6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e、6ec8aac122bd4f6e、6ec8aac122bd4f6e  6ec8aac122bd4f6e

          三、5.證明:(1)當n=1時,42×1+1+31+2=91能被13整除

          (2)假設當n=k時,42k+1+3k+2能被13整除,則當n=k+1時,

          42(k+1)+1+3k+3=42k+1?42+3k+2?3-42k+1?3+42k+1?3

          =42k+1?13+3?(42k+1+3k+2?)

          ∵42k+1?13能被13整除,42k+1+3k+2能被13整除

          ∴當n=k+1時也成立.

          由①②知,當nN*時,42n+1+3n+2能被13整除.

          6.證明:(1)當n=2時,6ec8aac122bd4f6e

          (2)假設當n=k時成立,即6ec8aac122bd4f6e

          6ec8aac122bd4f6e

          7.(1)解:設數(shù)列{bn}的公差為d,由題意得6ec8aac122bd4f6e,∴bn=3n-2

          (2)證明:由bn=3n-2知

          Sn=loga(1+1)+loga(1+6ec8aac122bd4f6e)+…+loga(1+6ec8aac122bd4f6e)

          =loga[(1+1)(1+6ec8aac122bd4f6e)…(1+ 6ec8aac122bd4f6e)]

          6ec8aac122bd4f6elogabn+1=loga6ec8aac122bd4f6e,于是,比較Sn6ec8aac122bd4f6elogabn+1?的大小6ec8aac122bd4f6e比較(1+1)(1+6ec8aac122bd4f6e)…(1+6ec8aac122bd4f6e)與6ec8aac122bd4f6e的大小.

          n=1,有(1+1)=6ec8aac122bd4f6e

          n=2,有(1+1)(1+6ec8aac122bd4f6e

          推測:(1+1)(1+6ec8aac122bd4f6e)…(1+6ec8aac122bd4f6e)>6ec8aac122bd4f6e (*)

          ①當n=1時,已驗證(*)式成立.

          ②假設n=k(k≥1)時(*)式成立,即(1+1)(1+6ec8aac122bd4f6e)…(1+6ec8aac122bd4f6e)>6ec8aac122bd4f6e

          則當n=k+1時,6ec8aac122bd4f6e

          6ec8aac122bd4f6e

          6ec8aac122bd4f6e

          6ec8aac122bd4f6e,即當n=k+1時,(*)式成立

          由①②知,(*)式對任意正整數(shù)n都成立.

          于是,當a>1時,Sn6ec8aac122bd4f6elogabn+1?,當 0<a<1時,Sn6ec8aac122bd4f6elogabn+1?

          8.解:∵a1?a2=-q,a1=2,a2≠0,

          q≠0,a2=-6ec8aac122bd4f6e,

          an?an+1=-qn,an+1?an+2=-qn+1?

          兩式相除,得6ec8aac122bd4f6e,即an+2=q?an

          于是,a1=2,a3=2?q,a5=2?qn…猜想:a2n+1=-6ec8aac122bd4f6eqn(n=1,2,3,…)

          綜合①②,猜想通項公式為an=6ec8aac122bd4f6e

          下證:(1)當n=1,2時猜想成立

          (2)設n=2k-1時,a2k1=2?qk1n=2k+1時,由于a2k+1=q?a2k1?

          a2k+1=2?qkn=2k-1成立.

          可推知n=2k+1也成立.

          n=2k時,a2k=-6ec8aac122bd4f6eqk,則n=2k+2時,由于a2k+2=q?a2k?,

          所以a2k+2=-6ec8aac122bd4f6eqk+1,這說明n=2k成立,可推知n=2k+2也成立.

          綜上所述,對一切自然數(shù)n,猜想都成立.

          這樣所求通項公式為an=6ec8aac122bd4f6e

          S2n=(a1+a3…+a2n1)+(a2+a4+…+a2n)

          =2(1+q+q2+…+qn-1?)-6ec8aac122bd4f6e (q+q2+…+qn)

          6ec8aac122bd4f6e

          由于|q|<1,∴6ec8aac122bd4f6e=6ec8aac122bd4f6e

          依題意知6ec8aac122bd4f6e<3,并注意1-q>0,|q|<1解得-1<q<0或0<q6ec8aac122bd4f6e

           

           

          難點31  數(shù)學歸納法解題

          數(shù)學歸納法是高考考查的重點內容之一.類比與猜想是應用數(shù)學歸納法所體現(xiàn)的比較突出的思想,抽象與概括,從特殊到一般是應用的一種主要思想方法.

          ●難點磁場

          (★★★★)是否存在a、b、c使得等式1?22+2?32+…+n(n+1)2=6ec8aac122bd4f6e(an2+bn+c).

          ●案例探究

          [例1]試證明:不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列,當n>1,nN*ab、c互不相等時,均有:an+cn>2bn.

          命題意圖:本題主要考查數(shù)學歸納法證明不等式,屬★★★★級題目.

          知識依托:等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質及數(shù)學歸納法證明不等式的一般步驟.

          錯解分析:應分別證明不等式對等比數(shù)列或等差數(shù)列均成立,不應只證明一種情況.

          技巧與方法:本題中使用到結論:(akck)(ac)>0恒成立(ab、c為正數(shù)),從而ak+1+ck+1ak?c+ck?a.

          證明:(1)設a、bc為等比數(shù)列,a=6ec8aac122bd4f6e,c=bq(q>0且q≠1)

          an+cn=6ec8aac122bd4f6e+bnqn=bn(6ec8aac122bd4f6e+qn)>2bn

          (2)設a、b、c為等差數(shù)列,則2b=a+c猜想6ec8aac122bd4f6e>(6ec8aac122bd4f6e)n(n≥2且nN*)

          下面用數(shù)學歸納法證明:

          ①當n=2時,由2(a2+c2)>(a+c)2,∴6ec8aac122bd4f6e

          ②設n=k時成立,即6ec8aac122bd4f6e

          則當n=k+1時,6ec8aac122bd4f6e (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)

          6ec8aac122bd4f6e(ak+1+ck+1+ak?c+ck?a)=6ec8aac122bd4f6e(ak+ck)(a+c)

          >(6ec8aac122bd4f6e)k?(6ec8aac122bd4f6e)=(6ec8aac122bd4f6e)k+1

          [例2]在數(shù)列{an}中,a1=1,當n≥2時,an,Sn,Sn6ec8aac122bd4f6e成等比數(shù)列.

          (1)求a2,a3,a4,并推出an的表達式;

          (2)用數(shù)學歸納法證明所得的結論;

          (3)求數(shù)列{an}所有項的和.

          命題意圖:本題考查了數(shù)列、數(shù)學歸納法、數(shù)列極限等基礎知識.

          知識依托:等比數(shù)列的性質及數(shù)學歸納法的一般步驟.采用的方法是歸納、猜想、證明.

          錯解分析:(2)中,Sk=-6ec8aac122bd4f6e應舍去,這一點往往容易被忽視.

          技巧與方法:求通項可證明{6ec8aac122bd4f6e}是以{6ec8aac122bd4f6e}為首項,6ec8aac122bd4f6e為公差的等差數(shù)列,進而求得通項公式.

          解:∵an,Sn,Sn6ec8aac122bd4f6e成等比數(shù)列,∴Sn2=an?(Sn6ec8aac122bd4f6e)(n≥2)                       (*)

          (1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=-6ec8aac122bd4f6e

          a1=1,a2=-6ec8aac122bd4f6e,S3=6ec8aac122bd4f6e+a3代入(*)式得:a3=-6ec8aac122bd4f6e

          同理可得:a4=-6ec8aac122bd4f6e,由此可推出:an=6ec8aac122bd4f6e

          (2)①當n=1,2,3,4時,由(*)知猜想成立.

          ②假設n=k(k≥2)時,ak=-6ec8aac122bd4f6e成立

          Sk2=-6ec8aac122bd4f6e?(Sk6ec8aac122bd4f6e)

          ∴(2k-3)(2k-1)Sk2+2Sk-1=0

          Sk=6ec8aac122bd4f6e (舍)

          Sk+12=ak+1?(Sk+16ec8aac122bd4f6e),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk6ec8aac122bd4f6e)

          6ec8aac122bd4f6e

          由①②知,an=6ec8aac122bd4f6e對一切nN成立.

          (3)由(2)得數(shù)列前n項和Sn=6ec8aac122bd4f6e,∴S=6ec8aac122bd4f6eSn=0.

          ●錦囊妙記

          (1)數(shù)學歸納法的基本形式

          P(n)是關于自然數(shù)n的命題,若

          P(n0)成立(奠基)

          2°假設P(k)成立(kn0),可以推出P(k+1)成立(歸納),則P(n)對一切大于等于n0的自然數(shù)n都成立.

          (2)數(shù)學歸納法的應用

          具體常用數(shù)學歸納法證明:恒等式,不等式,數(shù)的整除性,幾何中計算問題,數(shù)列的通項與和等.

          ●殲滅難點訓練

          一、選擇題

          1.(★★★★★)已知f(n)=(2n+7)?3n+9,存在自然數(shù)m,使得對任意nN,都能使m整除f(n),則最大的m的值為(    )

          A.30                                   B.26                            C.36                                   D.6

          2.(★★★★)用數(shù)學歸納法證明3kn3(n≥3,nN)第一步應驗證(    )

          A.n=1                          B.n=2                   C.n=3                          D.n=4

          二、填空題

          3.(★★★★★)觀察下列式子:6ec8aac122bd4f6e…則可歸納出_________.

          4.(★★★★)已知a1=6ec8aac122bd4f6e,an+1=6ec8aac122bd4f6e,則a2,a3,a4,a5的值分別為_________,由此猜想an=_________.

          三、解答題

          5.(★★★★)用數(shù)學歸納法證明46ec8aac122bd4f6e+3n+2能被13整除,其中nN*.

          6.(★★★★)若n為大于1的自然數(shù),求證:6ec8aac122bd4f6e.

          7.(★★★★★)已知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,b1=1,b1+b2+…+b10=145.

          (1)求數(shù)列{bn}的通項公式bn;

          (2)設數(shù)列{an}的通項an=loga(1+6ec8aac122bd4f6e)(其中a>0且a≠1)記Sn是數(shù)列{an}的前n項和,試比較Sn6ec8aac122bd4f6elogabn+1的大小,并證明你的結論.

          8.(★★★★★)設實數(shù)q滿足|q|<1,數(shù)列{an}滿足:a1=2,a2≠0,an?an+1=-qn,求an表達式,又如果6ec8aac122bd4f6eS2n<3,求q的取值范圍.

           

          參考答案

          難點磁場

          解:假設存在ab、c使題設的等式成立,這時令n=1,2,3,有6ec8aac122bd4f6e

          于是,對n=1,2,3下面等式成立

          1?22+2?32+…+n(n+1)2=6ec8aac122bd4f6e

          Sn=1?22+2?32+…+n(n+1)2

          n=k時上式成立,即Sk=6ec8aac122bd4f6e (3k2+11k+10)

          那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=6ec8aac122bd4f6e(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2

          =6ec8aac122bd4f6e (3k2+5k+12k+24)

          =6ec8aac122bd4f6e[3(k+1)2+11(k+1)+10]

          也就是說,等式對n=k+1也成立.

          綜上所述,當a=3,b=11,c=10時,題設對一切自然數(shù)n均成立.

          殲滅難點訓練

          一、1.解析:∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36

          f(1),f(2),f(3)能被36整除,猜想f(n)能被36整除.

          證明:n=1,2時,由上得證,設n=k(k≥2)時,

          f(k)=(2k+7)?3k+9能被36整除,則n=k+1時,

          f(k+1)-f(k)=(2k+9)?3k+1?-(2k+7)?3k

          =(6k+27)?3k-(2k+7)?3k

          =(4k+20)?3k=36(k+5)?3k2?(k≥2)

          6ec8aac122bd4f6ef(k+1)能被36整除

          f(1)不能被大于36的數(shù)整除,∴所求最大的m值等于36.

          答案:C

          2.解析:由題意知n≥3,∴應驗證n=3.

          答案:C

          二、3.解析:6ec8aac122bd4f6e

          6ec8aac122bd4f6e

          6ec8aac122bd4f6e(nN*)

          6ec8aac122bd4f6e(nN*)

          6ec8aac122bd4f6e

          6ec8aac122bd4f6e、6ec8aac122bd4f6e、6ec8aac122bd4f6e、6ec8aac122bd4f6e  6ec8aac122bd4f6e

          三、5.證明:(1)當n=1時,42×1+1+31+2=91能被13整除

          (2)假設當n=k時,42k+1+3k+2能被13整除,則當n=k+1時,

          42(k+1)+1+3k+3=42k+1?42+3k+2?3-42k+1?3+42k+1?3

          =42k+1?13+3?(42k+1+3k+2?)

          ∵42k+1?13能被13整除,42k+1+3k+2能被13整除

          ∴當n=k+1時也成立.

          由①②知,當nN*時,42n+1+3n+2能被13整除.

          6.證明:(1)當n=2時,6ec8aac122bd4f6e

          (2)假設當n=k時成立,即6ec8aac122bd4f6e

          6ec8aac122bd4f6e

          7.(1)解:設數(shù)列{bn}的公差為d,由題意得6ec8aac122bd4f6e,∴bn=3n-2

          (2)證明:由bn=3n-2知

          Sn=loga(1+1)+loga(1+6ec8aac122bd4f6e)+…+loga(1+6ec8aac122bd4f6e)

          =loga[(1+1)(1+6ec8aac122bd4f6e)…(1+ 6ec8aac122bd4f6e)]

          6ec8aac122bd4f6elogabn+1=loga6ec8aac122bd4f6e,于是,比較Sn6ec8aac122bd4f6elogabn+1?的大小6ec8aac122bd4f6e比較(1+1)(1+6ec8aac122bd4f6e)…(1+6ec8aac122bd4f6e)與6ec8aac122bd4f6e的大小.

          n=1,有(1+1)=6ec8aac122bd4f6e

          n=2,有(1+1)(1+6ec8aac122bd4f6e

          推測:(1+1)(1+6ec8aac122bd4f6e)…(1+6ec8aac122bd4f6e)>6ec8aac122bd4f6e (*)

          ①當n=1時,已驗證(*)式成立.

          ②假設n=k(k≥1)時(*)式成立,即(1+1)(1+6ec8aac122bd4f6e)…(1+6ec8aac122bd4f6e)>6ec8aac122bd4f6e

          則當n=k+1時,6ec8aac122bd4f6e

          6ec8aac122bd4f6e

          6ec8aac122bd4f6e

          6ec8aac122bd4f6e,即當n=k+1時,(*)式成立

          由①②知,(*)式對任意正整數(shù)n都成立.

          于是,當a>1時,Sn6ec8aac122bd4f6elogabn+1?,當 0<a<1時,Sn6ec8aac122bd4f6elogabn+1?

          8.解:∵a1?a2=-q,a1=2,a2≠0,

          q≠0,a2=-6ec8aac122bd4f6e,

          an?an+1=-qn,an+1?an+2=-qn+1?

          兩式相除,得6ec8aac122bd4f6e,即an+2=q?an

          于是,a1=2,a3=2?q,a5=2?qn…猜想:a2n+1=-6ec8aac122bd4f6eqn(n=1,2,3,…)

          綜合①②,猜想通項公式為an=6ec8aac122bd4f6e

          下證:(1)當n=1,2時猜想成立

          (2)設n=2k-1時,a2k1=2?qk1n=2k+1時,由于a2k+1=q?a2k1?

          a2k+1=2?qkn=2k-1成立.

          可推知n=2k+1也成立.

          n=2k時,a2k=-6ec8aac122bd4f6eqk,則n=2k+2時,由于a2k+2=q?a2k?,

          所以a2k+2=-6ec8aac122bd4f6eqk+1,這說明n=2k成立,可推知n=2k+2也成立.

          綜上所述,對一切自然數(shù)n,猜想都成立.

          這樣所求通項公式為an=6ec8aac122bd4f6e

          S2n=(a1+a3…+a2n1)+(a2+a4+…+a2n)

          =2(1+q+q2+…+qn-1?)-6ec8aac122bd4f6e (q+q2+…+qn)

          6ec8aac122bd4f6e

          由于|q|<1,∴6ec8aac122bd4f6e=6ec8aac122bd4f6e

          依題意知6ec8aac122bd4f6e<3,并注意1-q>0,|q|<1解得-1<q<0或0<q6ec8aac122bd4f6e

           

           

           


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