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				已知f(n)=(2n+7)·3n+9，是否存在自然數(shù)m，使得對任意n∈N+,都能使m整除f(n),如果存在，求出最大的m值，并證明你的結(jié)論；若不存在，說明理由.
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          思路分析：因?yàn)閒(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36, …,所以f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.
          證明：（1）當(dāng)n=1時，f(1)=36,能被36整除；
          （2）假設(shè)當(dāng)n=k時，f(k)能被36整除，則當(dāng)n=k+1時，f(k+1)=［2(k+1)+7］·3k+1+9
          =3［(2k+7)·3k+9］+18(3k-1-1),
          由歸納假設(shè)3［(2k+7)·3k+9］能被36整除，而3k-1-1是偶數(shù)，
          所以18（3k-1-1）能被36整除，
          所以f(k+1)能被36整除.
              由（1）（2），得f(n)能被36整除，由于f(1)=36，故能整除f(n)的最大整數(shù)是36.
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然數(shù)m,使得對任意n∈N,都能使m整除f(n)，求m的最大值。
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：2010-2011年遼寧省瓦房店市高二4月月考數(shù)學(xué)理卷
				題型：選擇題
			
          

						
          已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然數(shù)m,使得對任意n∈N,都能使m整除f(n)，則最大的m的值為(    )
          


          A、30           B、
26              C、
 36          D、
 6
          


           
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然數(shù)m，使得對任意n∈N*，都能使m整除f(n)，求最大的m的值.
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：2013屆安徽省高二下學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版）
				題型：解答題
			
          

						
          已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然數(shù)m,使得對任意正整數(shù)n,都能使m整除f(n)，猜測出最大的m的值。并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜測是正確的。
          


          【解析】本試題主要考查了歸納猜想的運(yùn)用，以及數(shù)學(xué)歸納法的證明。
          


          ∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36
          


          ∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除
          


          然后證明n=1,2時，由上得證，設(shè)n=k(k≥2)時，
          


          f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，則n=k+1時，
          


          f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1?－(2k+7)·3k=(6k+27)·3k－(2k+7)·3k
          


          =(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－2?(k≥2)  證明得到。解析 
∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36
          


          ∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除  
          


          證明  n=1,2時，由上得證，設(shè)n=k(k≥2)時，
          


          f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，則n=k+1時，
          


          f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1?－(2k+7)·3k=(6k+27)·3k－(2k+7)·3k
          


          =(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－2?(k≥2)  f(k+1)能被36整除
          


          ∵f(1)不能被大于36的數(shù)整除，∴所求最大的m值等于36
          


           
          

			
          

			
          
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          同步練習(xí)冊答案