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在△ABC中，A為最小角，C為最大角，已知cos(2A+C)=－，sinB=，則cos2(B+C)=__________.

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難點磁場

解法一：由題設(shè)條件知B=60°，A+C=120°.

設(shè)α=，則A－C=2α，可得A=60°+α，C=60°－α，

依題設(shè)條件有

整理得4cos²α+2cosα－3=0(M)

(2cosα－)(2cosα+3)=0，∵2cosα+3≠0，

∴2cosα－=0.從而得cos.

解法二：由題設(shè)條件知B=60°，A+C=120°

                                                              ①，把①式化為cosA+cosC=－2cosAcosC                                                              ②，

利用和差化積及積化和差公式，②式可化為

                                          ③， 

將cos=cos60°=，cos(A+C)=－代入③式得：

                                                                             ④

將cos(A－C)=2cos²()－1代入 ④：4cos²()+2cos－3=0，(*)，

殲滅難點訓(xùn)練

一、1.解析：其中(3）(4）正確.

答案： B

二、2.解析：∵A+B+C=π，A+C=2B，

答案：

3.解析：∵A為最小角∴2A+C=A+A+C＜A+B+C=180°.

∵cos(2A+C)=－，∴sin(2A+C)=.

∵C為最大角，∴B為銳角，又sinB=.故cosB=.

即sin(A+C)=，cos(A+C)=－.

∵cos(B+C)=－cosA=－cos［(2A+C)－(A+C)］=－，

∴cos2(B+C)=2cos²(B+C)－1=.

答案：

三、4.解：如圖：連結(jié)BD，則有四邊形ABCD的面積：

S=S_△ABD+S_△CDB=?AB?ADsinA+?BC?CD?sinC

∵A+C=180°，∴sinA=sinC

故S=(AB?AD+BC?CD)sinA=(2×4+6×4)sinA=16sinA

由余弦定理，在△ABD中，BD²=AB²+AD²－2AB?AD?cosA=20－16cosA

在△CDB中，BD²=CB²+CD²－2CB?CD?cosC=52－48cosC

∴20－16cosA=52－48cosC，∵cosC=－cosA，

∴64cosA=－32，cosA=－，又0°＜A＜180°，∴A=120°故S=16sin120°=8.

5.解：R=rcosθ，由此得：，

7.解：由a、b、3c成等比數(shù)列，得：b²=3ac

∴sin²B=3sinC?sinA=3(－)［cos(A+C)－cos(A－C)］

∵B=π－(A+C).∴sin²(A+C)=－［cos(A+C)－cos］

即1－cos²(A+C)=－cos(A+C)，解得cos(A+C)=－.

∵0＜A+C＜π，∴A+C=π.又A－C=∴A=π，B=，C=.

8.解：按題意，設(shè)折疊后A點落在邊BC上改稱P點，顯然A、P兩點關(guān)于折線DE對稱，又設(shè)∠BAP=θ，∴∠DPA=θ，∠BDP=2θ，再設(shè)AB=a，AD=x，∴DP=x.在△ABC中，

∠APB=180°－∠ABP－∠BAP=120°－θ，?

由正弦定理知：.∴BP=

在△PBD中，,

∵0°≤θ≤60°，∴60°≤60°+2θ≤180°，∴當(dāng)60°+2θ=90°，即θ=15°時，

sin(60°+2θ)=1，此時x取得最小值a，即AD最小，∴AD∶DB=2－3.