在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，過A₁、C₁、B三點的平面截去長方體的一個角后．得到如圖所示的幾何體ABCD-A₁C₁D₁，且這個幾何體的體積為

40

3

．
（1）求A₁A的長；
（2）在線段BC₁上是否存在點P，使直線A₁P與C₁D垂直，如果存在，求線段A₁P的長，如果不存在，請說明理由．

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在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，過A₁、C₁、B三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體ABCD-A₁B₁C₁D₁，且這個幾何體的體積為

40

3

．
（1）求棱A₁A的長；
（2）若線段AC與BD交于點E，求證：D₁E∥平面A₁C₁B；
（3）在線段BC₁上是否存在點P，使直線A₁P與C₁D垂直，如果存在，指出線段C₁P的長，如果不存在，請說明理由．

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在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，過A₁、C₁、B三點的平面截去長方體的一個角后得到如圖所示的幾何體ABCD-A₁C₁D，且這個幾何體的體積為。

（1）求A₁A的長；
（2）在線段BC₁上是否存在點P，使直線A₁P與C₁D垂直，如果存在，求線段A₁P的長；如果不存在，請說明理由。

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在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，過A₁、C₁、B三點的平面截去長方體的一個角后．得到如圖所示的幾何體ABCD-A₁C₁D₁，且這個幾何體的體積為．
（1）求A₁A的長；
（2）在線段BC₁上是否存在點P，使直線A₁P與C₁D垂直，如果存在，求線段A₁P的長，如果不存在，請說明理由．

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一、選擇題（每小題5分，共60分）

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

B

A

B

C

D

A

D

C

C

D

B

二、填空題（每小題5分，共20分）

13、（1，2）； 14、20； 15、21；16、．

三、解答題

17、解：（Ⅰ）當時，有，又，所以 ……1分

當時，

           =

         所以，且當時，  ……3分

又，因此數(shù)列{}是以1為首項

且公差為2的等差數(shù)列，所以  ……2分

（Ⅱ）證明：（1）當時，，，關系成立 ……1分

 （2）假設當時，關系成立，即，則

   ……1分  那么

   ，即當時關系也成立

……3分  根據(jù)（1）和（2）知，關系式對任意N^*都成立  ……1分

18、解：（Ⅰ）如圖，以C為原點，CA，CB，CC₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則，，，

，，  ……1分

設，則，，

即AM⊥BC，又因為，且，

所以 AM^平面  ……3分

（Ⅱ），因為，所以，得，

即，可得平面的一個法向量為=  ……3分

，設平面的一個法向量為，

則且，得，，令，得平面的一個法向量為=  ……3分設平面ABM與平面AB₁C₁所夾銳角為，

則  ……2分

19、解：（Ⅰ）隨機變量甲、乙兩名運動員選擇的泳道相隔數(shù)X的分布列為：

X

0

1

2

3

4

5

6

     ……6分

泳道相隔數(shù)X的期望為：

E（X）= ……2分

（Ⅱ）  ……4分

20、解：（Ⅰ）由得  ……2分

可得直線的方程為，于是，

得，，，所以橢圓的方程為  ……2分

（Ⅱ）設，由方程組得，

      所以有，，且，即 ……2分

            ……2分

     因為，所以，又，所以是線段的中點，

     點的坐標為，即的坐標是，因此

     直線的方程為，得點的坐標為（0，），

     所以   ……2分

    因此

    所以當，即時，取得最大值，最大值為 ……2分

21、解：（Ⅰ）

                     ……2分

若，則，為R上的單調遞增函數(shù)；

若，的解為或，的解為，

此時在區(qū)間單調遞增，在區(qū)間單調遞減；

若，的解為或，的解為，

此時在區(qū)間單調遞增，在區(qū)間單調遞減……3分

（Ⅱ）當時，，，

因為，所以點（0，）不在曲線上，設過點的直線與曲線相切于點，則切線方程為，所以有及

，得……2分 令，

則，

令，得，，，可得在區(qū)間單調遞增，在區(qū)間單調遞減，所以在時取極大值，

在時取極小值，在時取極大值，又，

所以是的最大值 ……3分 

如圖，過點（0，）有且只有一條直線與曲線

相切等價于直線與曲線

有且只有一個交點，又當時，，所以或  ……2分

22、（Ⅰ）證明：因為AB為⊙O直徑，

所以 ∠ACB＝90°，即 AC⊥BC，

因為D是弧的中點，由垂徑定理

得OD⊥BC，因此OD∥AC  ……3分

又因為點O為AB的中點，所以點E為

BC的中點，所以OE＝AC  ……2分

（Ⅱ）證明：連結CD，因為PC是⊙O的切線，所以∠PCD＝∠CAP，又∠P是公共角，所以 △PCD∽△PAC．得，得 ……3分

因為D是弧的中點，所以，因此   ……2分

23、解：（Ⅰ）曲線上的動點的坐標為（，），坐標原點（0，0），

     設P的坐標為（，），則由中點坐標公式得，，所以點P 的坐標為（，）……3分

      因此點的軌跡的參數(shù)方程為（為參數(shù)，且），

消去參數(shù)得點軌跡的直角坐標方程為 ……2分

（Ⅱ）由直角坐標與極坐標關系得直線的直角坐標方程為

  ……2分 又由（Ⅰ）知點的軌跡為圓心在原點半徑為2的圓，

因為原點（0，0）到直線的距離為

所以點到直線距離的最大值  ……3分

24、解：（Ⅰ）由題意得，即  得 ……2分

     因為 

所以的取值范圍是[0，6]   ……3分

（Ⅱ），

因為對于，由絕對值的三角不等式得

   ……3分

于是有，得，即的取值范圍是  ……2分