Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，過A₁、C₁、B三點的平面截去長方體的一個角后．得到如圖所示的幾何體ABCD-A₁C₁D₁，且這個幾何體的體積為．
（1）求A₁A的長；
（2）在線段BC₁上是否存在點P，使直線A₁P與C₁D垂直，如果存在，求線段A₁P的長，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用體積轉(zhuǎn)化，求A₁A的長；
（2）在平面CC₁D₁D中作D₁Q⊥C₁D交CC₁于Q，過Q作QP∥CB交BC₁于點P，推出A₁P⊥C₁D，證明A₁P⊥C₁D，推出△D₁C₁Q∽Rt△C₁CD，再求求線段A₁P的長．
解答：解：（1）∵
=，∴AA₁=4．（5分）
（2）在平面CC₁D₁D中作D₁Q⊥C₁D交CC₁于Q，
過Q作QP∥CB交BC₁于點P，則A₁P⊥C₁D．（7分）
因為A₁D₁⊥平面CC₁D₁D，C₁D?平面CC₁D₁D，
∴C₁D⊥A₁D₁，而QP∥CB，CB∥A₁D₁，∴QP∥A₁D₁，
又∵A₁D₁∩D₁Q=D₁，∴C₁D⊥平面A₁PQC₁，
且A₁P?平面A₁PQC₁，∴A₁P⊥C₁D．（10分）
∵△D₁C₁Q∽Rt△C₁CD，
∴，∴
，∴．
∵四邊形A₁PQD₁為直角梯形，且高，
∴．（14分）
點評：本題考查組合幾何體的面積、體積問題，直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．