Question

（2009•青浦區(qū)二模）（理）在長方體ABCD-A'B'C'D'中，AB=2，AD=1，AA'=1．
求：
（1）頂點(diǎn)D'到平面B'AC的距離；
（2）二面角B-AC-B'的大小．（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

Answer 1

分析：（1）利用空間向量來求點(diǎn)到平面的距離，必須先建立空間直角坐標(biāo)系，找到已知點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量，再借助點(diǎn)到平面的距離公式d=

| n • AD′ |

| n |

來計(jì)算，其中

n

為平面的法向量，

AD′

為點(diǎn)D′與平面上任意一點(diǎn)的向量．
（2）欲求二面角的大小，只需求出兩個平面的法向量的夾角，再借助圖形判斷，法向量的夾角是二面角的夾角，還是其補(bǔ)角．

解答：解：（1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，可得有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為
A（1，0，0）、D（0，0，0）、C（0，2，0）、A'（1，0，1）、B'（1，2，1）、D'（0，0，1）．    
設(shè)平面B'AC的法向量為

n

=(u，v，w)，則

n

⊥

B′A

，

n

⊥

B′C

．
因?yàn)?span id="gi5aol4" class="MathJye">

B′A

=(0，-2，-1)，

B′C

=(-1，0，-1)，

n

•

B′A

=0，

n

•

B′C

=0，
所以

2v+w=0 u+w=0.

解得u=2v，w=-2v，取v=1，得平面B'AC一個法向量

n

=(2，1，-2)，
且|

n

|=3．                                                     
在平面B'AC取一點(diǎn)A，可得

AD′

=(-1，0，1)，于是頂點(diǎn)D'到平面B'AC的距離d=

| n  • AD′ |

| n  |

=

4

3

，
所以頂點(diǎn)D'到平面B'AC的距離為

4

3

，
（2）因?yàn)槠矫鍭BC的一個法向量為

n1

=(0，0，1)，設(shè)與

n

的夾角為α，則cosα=

n • n1

| n || n1 |

=-

2

3

，
結(jié)合圖形可判斷得二面角B-AC-B'是一個銳角，它的大小為arccos

2

3

．

點(diǎn)評：本小題主要考查空間距離、二面角的度量等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法．