題目列表(包括答案和解析)
設A、B分別為橢圓
的左、右頂點，橢圓的長軸長為4，且點
在該橢圓上。
（I）求橢圓的方程；
（II）設P為直線x=4上不同于點（4，0）的任意一點，若直線AP與橢圓相交于A的點
M，證明：
為銳角三角形
的左、右頂點，橢圓的長軸長為4，且點
在該橢圓上。
為銳角三角形(14分)設A、B分別為橢圓
的左、右頂點，(
)為橢圓上一點，橢圓的長半軸的長等于焦距．
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)設
，若直線AP，BP分別與橢圓相交于異于A、B的點M、N，證明在以MN為直徑的圓內．
(14分)設A、B分別為橢圓
的左、右頂點，(
)為橢圓上一點，橢圓的長半軸的長等于焦距．
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)設
，若直線AP，BP分別與橢圓相交于異于A、B的點M、N，
求證：
為鈍角．
的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且x=4為它的右準線．一、選擇題(每小題5分，共50分)
1．B 2．C 3．A 4．D 5．C 6．D 7．B 8．C 9．A 10．D
二、填空題(每小題4分，共24分)
l 1．192 12．286 13．
14．
15．
三、解答題(本大題共6小題，共76分)
17．(本題12分)
解：（Ⅰ）
………………………………（2分）
…………（4分）
…………………………………(6分)
(Ⅱ)
．
……………(8分)
由已知條件
根據正弦定理，得
…………………（10分）
……………………（12分）
18．(本題12分)
解：(Ⅰ)在7人中選出3人，總的結果數是
種
………………(2分)
記“被選中的3人中至多有1名女生”為事件A，則A包含兩種情形：
①被選中的是1名女生，2名男生的結果數是
種，
②被選中的是3名男生的結果數是
種，
………………(4分)
至多選中1名女生的概率為
． ……………(6分)
(Ⅱ)由題意知隨機變量
可能的取值為：0，1，2，3，則有
……………………（8分）
的分布列
0
1
2
3
P
……………（10分）
的數學期望
…
……(12分)
19.(本題12分)
解：(Ⅰ)連接
，以
所在的直線為
軸，
軸，
軸
建立如圖所示的空間直角坐標系． …………………………………（2分)
正四棱錐的底面邊長和側棱長都是2，
．
．
為
的中點．
…………（4分）
．
即異面直線
和
所成的角為
………(6分)
(Ⅱ)
．
是平面
的一個法向量． ……………………………（8分）
由（Ⅰ）得
．
設平面
的一個法向量為
，
則由
，得
．
，不妨設
，
得平面的一個法向量為
．
………………（10分）
．
二面角
小于
，
二面角的余弦值為
．
………………（12分）
20.(本題12分)
解：(Ⅰ)由已知得
，又
，
即
． …………………………（2分）
，公差
．
由
，得 …………………………（4分）
即
．解得
或
(舍去)．
．
…………………………（6分）
(Ⅱ)由
得
…………………………（8分）
…………………………（9分）
是等差數列．
則
………………………(11分)
……………………(12分)
21．(本題14分)
解：(Ⅰ)依題意得
．
………………………（2分）
把（1，3）代入．
解得
．
橢圓的方程為
．
………………………（4分）
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
，設
，如圖所示
點在橢圓上，
． ①
點異于頂點
、
，
．
由
、、三點共線，可得
從而
…………………………（7分）
② …………（8分）
將①式代入②式化簡得
…………（10分）
…………（12分）
于是
為銳角，
為鈍角．
點B在以MN為直徑的圓內． ……………(14分)
22.（本題14分)
解：（Ⅰ）
，
令
，得
或
．
………………（2分）
當
時，
在
上單調遞
當
時，
在
上單調遞減，
而
，
當
時，
的值域是
． ……………（4分）
(Ⅱ)設函數
在
上的值域是A，
若對任意
．總存在
1,使
，
．
……………（6分）
．
①當
時，
，
函數在
上單調遞減．
，
當時，不滿足
； ……………………(8分)
②當
時，
，
令
，得
或
(舍去 ………………(9分)
（i）
時，
的變化如下表：
0
2
-
0
+
0
．
，解得
． …………………(11分)
(ii)當
時，
函數在上單調遞減．
，
當時，不滿足．
…………………(13分)
綜上可知，實數
的取值范圍是
． ……………………（14分）
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